¿De dónde viene el término de masa en el Proca Lagrangiano?

El término de masa en cualquier Campo Lagrangiano es siempre el término que es cuadrático en los campos y tiene el signo opuesto wrt. el término cinético - esto es crucial .

¿Porque preguntas? Bueno, supongamos que nos olvidamos del término actual por un minuto (queremos ver el campo$A$solo, sin corrientes alrededor, para identificar fácilmente la masa).

Trabajando las ecuaciones de campo, obtendrás algo como

Ahora, hay varias maneras de obtener de esta ecuación que$\mu$debe interpretarse como la masa del campo$A^\mu$. La forma más intuitiva es a través del punto de vista habitual de la mecánica cuántica, donde la energía-momento está representada por la derivada$\hat P^\mu = i\partial^\mu$, es decir, cuando se actúa sobre un estado propio de energía-momento (es decir, una onda plana$e^{ik \cdot x}$), la ecuación se reduce a

(El signo de$\mu$variará según sus convenciones métricas. Ahora, de la relatividad especial sabemos que$p^2 = -m^2$, dándonos la interpretación de una misa.

Un procedimiento aún más exacto es cuantificar el campo y escribir el hamiltoniano en términos de operadores de creación y aniquilación, y encontrará todos los operadores de creación, aparte de la "energía cinética" normal.$\hbar\omega_{\vec k}$, también agrega un cuanto por defecto$\mu$a la energía total del sistema, es decir, la correspondiente energía de masa.

Si te detienes a pensarlo por un momento, verás que sucederá algo similar para cualquier campo Lagrangiano que tenga un término cuadrático.

PD: Fíjate que, si hubiéramos elegido el signo en el término de masa de otra forma, la masa hubiera salido imaginaria, es decir$\mu^2 < 0$, que generalmente indica un gran problema para su teoría de campo

La normalización es realmente una cuestión de convención: el prefactor delante del término cinético se elige para reproducir las ecuaciones de Maxwell con los prefactores correctos, lo que de facto determina el factor en el término de masa.

Editar: Vladimir tiene un buen punto: olvidé señalar que Proca Lagrangian no es invariante de calibre (en el sentido de Maxwell: no puede agregar términos arbitrariamente a la $\partial_\mu f$. ¡Intentalo!). Sin embargo, me parece recordar que puede demostrar que las ecuaciones de movimiento originales de Proca se pueden dividir en el sistema de ecuaciones conjuntas

Además de la respuesta de Sam, diría que no hay un requisito de invariancia de calibre para el campo masivo$A$, solo covarianza de Lorentz.