Corriente conservada en QED escalar

Considere una teoría de un escalar complejo sin masa libre$\phi$que sufre a nivel mundial$U(1)$transformaciones. La corriente conservada asociada a esta simetría es la corriente escalar habitual

$$J^\mu = i\left(\phi^\dagger \partial^\mu \phi - \partial^\mu\phi^\dagger \phi\right) \tag{1}$$

que es divergencia-menos en el caparazón:

$$\partial_\mu J^\mu = \phi^\dagger \square \phi -h.c = 0 \tag{2}$$ desde $$\square\phi=0.\tag{3}$$

Cuando medimos la$U(1)$, esperamos que la simetría de calibre no estropee la conservación actual global. El lagrangiano es ahora

$$-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - (D_\mu\phi)^\dagger(D_\mu\phi) = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}- (\partial_\mu\phi)^\dagger(\partial_\mu\phi) - A_\mu J^\mu - A_\mu^2\phi^\dagger\phi \tag{4}$$ dónde $$D_\mu\phi = \partial_\mu \phi -i A_\mu \phi. \tag{5}$$

La ecuación de movimientos para el fotón son

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\mu + 2A_\mu\phi^\dagger\phi \tag{6}$$

lo que parece implicar que la corriente global ni siquiera se conserva, es decir

$$\partial_\mu J^\mu = -2\partial_\mu\left[A^\mu \phi^\dagger \phi\right]. \tag{7}$$

¿Este resultado es incorrecto? Va en contra de las expectativas. La teoría sigue siendo invariante bajo condiciones globales.$U(1)$transformaciones, por lo que la corriente global debe ser conservada.