¿Por qué requerimos invariancia de calibre local?

Mi pensamiento sobre esto está algo disperso, así que me disculpo de antemano.

Las ecuaciones de Maxwell son invariantes de calibre. Los campos eléctricos y magnéticos físicos no dependen de si usamos$A_\mu$o$A_\mu+\partial_\mu\Lambda$. Tenemos el Lagrangiano EM libre$\mathcal{L}=\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$de donde podemos derivar las ecuaciones de Maxwell. Por lo tanto, tiene sentido que la acción derivada de este Lagrangiano también sea invariante de calibre.

Mi problema surge cuando nos acoplamos a la materia.

Tomemos el Lagrangiano para campos EM acoplados a la materia;

Bajo$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu\Lambda$el término de interacción se transforma como

Ignorando el término derivado total, la invariancia de la acción requiere entonces$\partial_\mu j^\mu=0$.

Este es generalmente el punto donde los libros de texto dicen que podemos encontrar un$j^\mu$formado por los campos de materia utilizando el teorema de Noether; para campos de espino bajo global$U(1)$transformaciones que tendríamos$j^\mu=\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi$.

Sin embargo, esta corriente conservada solo se obtiene cuando los campos de materia están en el caparazón, pero (presumiblemente) requerimos una invariancia de calibre de la acción incluso cuando los campos están fuera del caparazón. (Por favor, corríjame si esto es incorrecto). Si los campos están fuera de la cáscara, podemos cancelar el término adicional que obtenemos al requerir que los campos de materia se transformen de manera apropiada bajo condiciones locales.$U(1)$transformación. Luego podemos actualizar nuestra definición de invariancia de calibre a un valor local.$U(1)$transformación de los campos de materia y la transformación habitual de los campos EM.

Mi pregunta; ¿Por qué deberíamos querer hacer esto de todos modos? Incluso si tenemos el término extra$j^\mu\partial_\mu\Lambda$Las ecuaciones de Maxwell no se ven afectadas, razón por la cual, en primer lugar, queríamos medir la invariancia. Desde esta perspectiva, el término adicional no es un problema.

Ahora debo admitir que mi conocimiento clásico de EM está un poco oxidado, así que tengan paciencia conmigo en el siguiente punto. Obviamente, las ecuaciones de movimiento de espinor no serán invariantes bajo la transformación de$A_\mu$pero ¿hay alguna razón en particular por la que debería ser así? Solo porque el potencial 4 no es un observable en el sector EM puro, ¿es necesariamente así en el sector spinor?

También se me ha ocurrido una idea al escribir este post; si permitimos el término$j^\mu\partial_\mu\Lambda$para aparecer en el Lagrangiano entonces$\partial_\mu\Lambda$se convierte en un campo dinámico. Puedo imaginar que esto podría producir problemas con respecto a la renormalizabilidad (adivinanzas), pero una consecuencia más inmediata que puedo ver de esto es la imposibilidad de interacciones; la ecuación de campo para$\partial_\mu\Lambda$es$j^\mu=0$, por lo que no tenemos interacción. Sin embargo, podríamos afirmar que el campo es$\Lambda$en lugar de$\partial_\mu\Lambda$, en cuyo caso la ecuación de campo es$\partial_\mu j^\mu=0$.

Admito que este post es un poco por todas partes. Mis preguntas esencialmente se reducen a;

• Dado que la corriente solo se conserva en la capa, ¿por qué usamos el teorema de Neother para crear la corriente que acoplamos al potencial EM?

• Incluso si no eliminamos el término adicional, ¿qué tan jodidos estamos? ¿El término adicional produce problemas con respecto a la renormalizabilidad o las ecuaciones de espinor resultantes tienen propiedades que no están de acuerdo con los experimentos? Podríamos simplemente pasar de transformaciones globales a locales de los espinores y todo funciona bien, pero ¿por qué querríamos hacer esto, aparte de que las transformaciones locales parecen una alternativa más general a las globales?