Conmutador de campo escalar sin masa

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Conmutador de campo escalar sin masa

Física
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Hola estoy tratando de calcular $\langle 0|[\phi(x),\phi(0)]|0\rangle$ dónde $\phi (x)$ es un campo escalar sin masa libre.

he calculado

⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (0) | 0 ⟩ = \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{(X_{0} - i ϵ)^{2} - (\vec{X})^{2}}

$\langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle = \frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{(x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2}$ dónde

x = (x_{0}, \vec{x})

$x = (x_0, \vec x)$ y estoy usando la firma (+, -, -, -).

Estoy confundido acerca de cómo calcular el conmutador. Si trato de calcularlo obtengo algo como

\frac{i ϵ}{4 π^{2}} \frac{1}{((X_{0} - i ϵ)^{2} - (\vec{X})^{2}) ((- X_{0} - i ϵ)^{2} - (\vec{X})^{2})},

$\frac{i\epsilon}{4\pi^2}\frac{1}{((x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2)((-x_0 - i\epsilon)^2 - (\vec x)^2) },$ donde he descartado términos de

O (ϵ^{2})

$O(\epsilon^2)$ .

No puedo ver que esto se simplificará a algo significativo o simple y cómo esto será 0 cuando $x$ es espacial. ¿Alguien puede ofrecer alguna ayuda?

MKF

¿Conoces las propiedades del propagador? una cosa que debo mencionar como punto de partida es que debe obtener una integral para

⟨ 0 | ϕ (x) ϕ (0) | 0 ⟩

$\langle 0\left| \phi(x)\phi(0) \right|0 \rangle$ (que es el propagador)

CStarÁlgebra

Ya calculé el propagador, se da como se indica arriba, lo cual sé que es correcto. Estoy preguntando cómo calcular el conmutador.

Valter Moretti

El valor esperado del conmutador se llama propagador causal , por lo que está calculando el propagador causal. En vista de sus propiedades causales, su soporte se concentra en el interior del cono de luz. Dado que el campo no tiene masa, su soporte se concentra exactamente en este cono (su superficie). Debes encontrarlo a partir de tus cálculos.

Valter Moretti

Tratar de usar

1 / (z \pm i 0_{+}) = v p 1 / z \mp i π δ (z)

$1/(z \pm i0_+) = vp 1/z \mp i \pi \delta (z)$

CStarÁlgebra

@ValterMoretti Terminé simplificando esto para

< 0 | [ϕ (x), ϕ (0)] | 0 >= \frac{ϵ}{(x^{2})^{2}}

$<0|[\phi (x), \phi (0)]|0> = \frac{\epsilon}{(x^2)^2}$ . Esto tiene sentido físico ya que es 0 a menos que x ^ 2 sea nulo, lo que debe ser para una partícula sin masa. Pero no estoy seguro de mi denominador. Además, ¿cómo uso la expresión de valor principal que publicaste con

\frac{1}{(z - i ϵ)^{2} - y^{2}}

$\frac{1}{(z -i\epsilon)^2 - y^2}$ ?

Valter Moretti

@CStarAlgebra Vea mi respuesta donde realicé todos los cálculos hasta la expresión final ...

Respuestas (1)

Conmutador de campo escalar sin masa

¿Conoces las propiedades del propagador? una cosa que debo mencionar como punto de partida es que debe obtener una integral para $\langle 0\left| \phi(x)\phi(0) \right|0 \rangle$ (que es el propagador)
Ya calculé el propagador, se da como se indica arriba, lo cual sé que es correcto. Estoy preguntando cómo calcular el conmutador.
El valor esperado del conmutador se llama propagador causal , por lo que está calculando el propagador causal. En vista de sus propiedades causales, su soporte se concentra en el interior del cono de luz. Dado que el campo no tiene masa, su soporte se concentra exactamente en este cono (su superficie). Debes encontrarlo a partir de tus cálculos.
Tratar de usar $1/(z \pm i0_+) = vp 1/z \mp i \pi \delta (z)$
@ValterMoretti Terminé simplificando esto para $<0|[\phi (x), \phi (0)]|0> = \frac{\epsilon}{(x^2)^2}$ . Esto tiene sentido físico ya que es 0 a menos que x ^ 2 sea nulo, lo que debe ser para una partícula sin masa. Pero no estoy seguro de mi denominador. Además, ¿cómo uso la expresión de valor principal que publicaste con $\frac{1}{(z -i\epsilon)^2 - y^2}$ ?
@CStarAlgebra Vea mi respuesta donde realicé todos los cálculos hasta la expresión final ...

Valter Moretti · Answer 1

\begin{aligned} ⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (0) | 0 ⟩ & = \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{(X_{0} - i 0_{+})^{2} - (\vec{X})^{2}} \\ = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (\frac{1}{(X_{0} - i 0_{+}) - | \vec{X} |} - \frac{1}{(X_{0} - i 0_{+}) + | \vec{X} |}), \end{aligned}

$\begin{align}\langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle &= \frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{(x_0 - i0_+)^2 - (\vec x)^2} \\ &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(\frac{1}{(x_0 - i0_+) - |\vec x|} - \frac{1}{(x_0 - i0_+) + |\vec x|}\right)\:,\end{align}$ eso es

\begin{aligned} ⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (0) | 0 ⟩ & = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (\frac{1}{X_{0} - | \vec{X} | - i 0_{+}} - \frac{1}{X_{0} + | \vec{X} | - i 0_{+}}) \\ = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (PAG V \frac{1}{X_{0} - | \vec{X} |} - PAG V \frac{1}{X_{0} + | \vec{X} |}) + \frac{π i}{8 π^{2} | \vec{X} |} (d (X_{0} - | \vec{X} |) - d (X_{0} + | \vec{X} |)) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (x) \phi (0)|0\rangle &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(\frac{1}{x_0 - |\vec x| - i0_+ } - \frac{1}{x_0 + |\vec x|- i0_+ }\right)\\ & = \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(PV \frac{1}{x_0 - |\vec x| }- PV \frac{1}{x_0 + |\vec x| }\right) + \frac{\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(x_0 - |\vec x| )- \delta(x_0 + |\vec x| )\right)\:.\end{align}$ Similarmente

\begin{aligned} ⟨ 0 | ϕ (0) ϕ (X) | 0 ⟩ & = \frac{1}{8 π^{2} | \vec{X} |} (PAG V \frac{1}{- X_{0} - | \vec{X} |} - PAG V \frac{1}{- X_{0} + | \vec{X} |}) + \frac{π i}{8 π^{2} | \vec{X} |} (d (- X_{0} - | \vec{X} |) - d (- X_{0} + | \vec{X} |)) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (0) \phi (x)|0\rangle &= \frac{1}{8\pi^2 |\vec x|}\left(PV \frac{1}{-x_0 - |\vec x| }- PV \frac{1}{-x_0 + |\vec x| }\right) + \frac{\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(-x_0 - |\vec x| )- \delta(-x_0 + |\vec x| )\right)\:.\end{align}$

Tomando la diferencia, usando $PV1/(-z) = -PV 1/z$ y $\delta(z)=\delta(-z)$ , tenemos una expresión para el propagador causal como esta

\begin{matrix} (1) & ⟨ 0 | [ϕ (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = \frac{2 π i}{8 π^{2} | \vec{X} |} (d (X_{0} + | \vec{X} |) - d (X_{0} - | \vec{X} |)) . \end{matrix}

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = \frac{2\pi i}{8\pi^2 |\vec x|} \left(\delta(x_0 + |\vec x| )- \delta(x_0 - |\vec x| )\right)\:.\tag{1}$ Usando

\begin{matrix} (2) & d (F (X)) = \sum_{i} \frac{d (X - X_{i})}{| \frac{d F}{d X} |_{X_{i}} |} \end{matrix}

$\delta(f(x)) = \sum_{i} \frac{\delta(x-x_i)}{\left|\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\bigg |_{x_i}\right|}\tag{2}$ dónde

x_{i}

$x_i$ son ceros simples distintos de

f

$f$ , la identidad encontrada se puede reformular en la forma

⟨ 0 | [ϕ (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = - \frac{4 π i}{8 π^{2}} firmar (X_{0}) d (X_{0}^{2} - (\vec{X})^{2}) .

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = -\frac{4\pi i}{8\pi^2} \mbox{sgn}(x_0)\delta(x^2_0 - (\vec x)^2 )\:.$ Salvo coeficientes erróneos (¡compruebe todo!), el resultado final debería ser

⟨ 0 | [ϕ (X), ϕ (0)] | 0 ⟩ = \frac{1}{2 π i} firmar (X_{0}) d (X_{0}^{2} - (\vec{X})^{2}) .

$\langle 0|[\phi (x), \phi (0)]|0\rangle = \frac{1}{2\pi i } \mbox{sgn}(x_0)\delta(x^2_0 - (\vec x)^2 )\:.$ Es evidente que el lado derecho se desvanece para los argumentos relacionados con el espacio del propagador causal. ¡Sin embargo, también desaparece para argumentos relacionados con el tiempo! Esta es una característica de las teorías libres sin masa en el espacio-tiempo plano.

Gracias @ValterMoretti, una pregunta, ¿de dónde salió la función sgn?
Surge comparando (1) y (2). He corregido una señal incorrecta general.

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