¿Por qué tenemos diferentes signos antes del delta en la ecuación de función de Klein-Gordon y Dirac Green?

Tal vez la respuesta esté relacionada con el hecho de que el propagador es el inverso del operador lagrangiano.

Una acción de teoría libre puede escribirse como

$$S[\psi ] = \int d^{4}x (\psi^{a})^{*}\Delta_{ab}\psi^{b}.$$ Aquí $()^{*}$significa conjugación que deja $(\psi^{a})^{*}\Delta_{ab}\psi^{b}$-forma lorentz-invariante. Por ejemplo, $$S_{KG}[\varphi ] = \frac{1}{2}\int d^{4}x \left( (\partial_{\mu}\varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2}\right) = \frac{1}{2}\int d^{4}x \varphi (-\partial^{2} - m^{2}) \varphi ,$$ $$S_{D}[\bar{\psi}, \psi ] = \int d^{4}x \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi ,$$ $$S_{EM}[A] = \int d^{4}x \left( -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2}\right) =$$ $$=\frac{1}{2}\int d^{4}x A^{\mu} \left( \partial^{2}g_{\mu \nu} - \left[ \frac{1}{\alpha} - 1\right]\partial_{\mu}\partial_{\nu}\right)A^{\nu}.$$ El propagador es el operador lagrangiano inverso: $$D_{ab}(p) = \frac{1}{\Delta_{ab}(p)}.$$ Así que ahora sabes cómo obtener el signo en la ecuación del propagador.

Tal vez quieras saber cómo obtener el signo en lagrangiano. El signo (en general - factor de escala) del operador lagrangiano no afecta las ecuaciones de movimiento (así como la regla de la suma de polarización$\sum_{s}u_{a}^{s}(u_{b}^{s})^{*}$se determina a partir de ecuaciones de movimiento solo hasta el factor de escala). Pero es importante porque determina el signo de la parte cinética en lagrangiano ($\bar{\psi}\gamma^{0}\partial_{0}\psi$para el caso de Dirac,$\partial_{0}A^{i}\partial_{0}A^{i}$en caso de ME,$(\partial_{0}\varphi)^{2}$en caso escalar, etc.). Esto afecta a la unitaridad de la teoría, por lo que, por supuesto, es muy importante.