¿Cómo calcular la fase Zak a partir de funciones de onda numéricas con fase arbitraria?

Puede hacerlo de la misma manera que se calculan los centros de carga de Wannier (consulte los artículos de Vanderbilt).

Suponer$\mathcal{C}$es un camino cerrado en$\mathbf{k}$-espacio (por ejemplo, un 1D BZ). Definiremos la fase Berry del$n$la banda a lo largo$\mathcal{C}$como (note la unidad imaginaria, ausente en su definición):

$$\gamma_n(\mathcal{C}) = \mathrm{i}\oint_{\mathcal{C}} \langle u_{n\mathbf{k}}|\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{k}}u_{n\mathbf{k}}\rangle.$$ La formulación discreta se puede obtener usando, por ejemplo, diferencias directas y eliminando las invariancias de calibre tomando ingeniosamente logaritmos de 1 + términos pequeños (o mediante razonamiento de transporte paralelo). Si suponemos que el camino se discretiza en (no necesariamente equidistante) $\mathbf{k}_i$pasos con $i=1,\ldots, N$y $\mathbf{k}_{N+1} \equiv \mathbf{k}_1$, el resultado final es: $$\gamma_n(\mathcal{C}) = \mathrm{Im}\log \prod_{i=1}^N \langle u_{n\mathbf{k_i}}|u_{n\mathbf{k}_{i+1}}\rangle$$ Puede ver esto como el producto (es decir, la suma de fases) de $N$pequeñas rotaciones de la fase del vector propio a medida que se transporta a lo largo $\mathcal{C}$; el $\mathrm{Im}\log$-parte simplemente selecciona la fase.

Si$\mathcal{C}$es un camino no contráctil en la BZ a lo largo de un vector reticular recíproco$\mathbf{G}$, es deseable imponer un calibre periódico, en cuyo caso se tomaría$u_{n\mathbf{k}_{N+1}}(\mathbf{r}) = u_{n\mathbf{k}_1}(\mathbf{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}$.

Z2Pack es una herramienta que implementa esto (a un grado mucho mayor de generalidad...). Ese también es un buen punto de partida para seguir leyendo.