Escalado computacional de algoritmos cuánticos y clásicos de Monte Carlo

El estado$\rho$para un hamiltoniano mecánico cuántico$\hat{H}$a temperatura$T = \frac{1}{k_B\beta}$es:

• $\frac{e^{-\beta \hat{H}}}{\rm{Tr}\left(e^{-\beta \hat{H}}\right)}$para un conjunto canónico ,
• $e^{-\beta \left(\hat{H}-\sum_i\mu_i\hat{N}_i-\Omega\right)}$para un gran conjunto canónico , con gran potencial $\Omega$, y para partículas de tipo$i$: operadores numéricos $\hat{N_i}$y potenciales químicos $\mu_i$.

Entonces, consideremos el costo de una matriz exponencial (lo que llamas "diagonalización exacta"). Este es un campo de investigación muy activo incluso hoy en día. El algoritmo que usa MATLAB R2016b proviene de una tesis de 2010 y 2016 ha visto al menos 3 nuevos algoritmos ( Ruiz et al . 2016 , Grebrimedhin et al. 2016 , Guttel et al. , 2016 ). La elección del algoritmo y el costo de ese algoritmo depende de las propiedades de$H$y de la precisión con la que pretende obtener la respuesta, pero$15n^3$Las operaciones de coma flotante (FLOP) se han dado aquí como una estimación cruda , donde$n$es la dimensión de la matriz, que para un hamiltoniano es$M^2$dónde$M$es el número de niveles incluidos en su sistema cuántico.

• $M=2$para un sistema de dos niveles como el espín de un electrón,
• $M=39$para los niveles vibratorios del estado electrónico fundamental de$^{6,6}$li$_2$,
• $M=2^Q$para$Q$qubits o$Q$spin-1/2 partículas,
• $M$es contablemente infinitamente grande para un oscilador armónico cuántico,
• $M$es incontablemente infinitamente grande para un sistema de variable continua como la posición$\hat{x}$.

Entonces, una estimación aproximada del costo del algoritmo determinista es$15M^6$FLOP para un$M$El sistema de niveles, que tiene razón, es exponencial con respecto al número de partículas de espín-1/2.

En cuanto a los métodos de Monte Carlo, tendrá que ser más específico sobre lo que busca. El número de macro iteraciones requeridas para obtener su respuesta con una precisión de$\pm\epsilon$es$\mathcal{O}\left(\sqrt{1/\epsilon}\right)$y cada una de estas macro iteraciones dependerá de$M$, pero para darte el recuento de FLOP tendrás que ser más específico en tu pregunta.