Modelo de unión estrecha en un campo magnético

El hamiltoniano está dado por

$$\begin{equation} H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right), \end{equation}$$ dónde $U\left(\mathbf{r}\right)$es el paisaje potencial debido a la red cristalina. El teorema de Bloch afirma que la solución al problema $$\begin{equation} H\Psi_{\mathbf{k}}=E\left(\mathbf{k}\right)\Psi_{\mathbf{k}}, \end{equation}$$ debe buscarse en la forma de suma de Bloch $$\begin{equation} \Psi_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{R}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right), \end{equation}$$ dónde $N$es el número de celdas unitarias, y $\phi$son orbitales atómicos, también conocidos como estados de Wannier. Los valores propios correspondientes $E\left(\mathbf{k}\right)$, que forman bandas dependiendo del momento del cristal $\mathbf{k}$, se obtienen calculando el elemento de la matriz $\langle\Psi_{\mathbf{k}}|H|\Psi_{\mathbf{k}}\rangle$

$$\begin{equation} \frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)} \int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)H\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right) \end{equation}$$ y en última instancia dependen de las integrales de salto relacionadas con el material $t_{12}=-\int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R_1}\right)H\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R_2}\right)$.

En presencia del campo magnético, el hamiltoniano cambia a

$$\begin{equation} H=\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right), \end{equation}$$ dónde $q$es la carga de la partícula. El término adicional introduce complicaciones y la suma de Bloch original se vuelve inadecuada. Como resultado, simplemente agregando un término de fase

$$\begin{equation} \Psi_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{R}}e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}+\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}}\right)}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right), \end{equation}$$ dónde

$$\begin{equation} G_{\mathbf{R}}=\int_{\mathbf{R}}^{\mathbf{r}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}, \end{equation}$$ resuelve el problema. Los elementos de la matriz de salto ahora se leen

$$\begin{align} \langle\Psi_{\mathbf{k}}|H|\Psi_{\mathbf{k}}\rangle=&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}\int d\mathbf{r}e^{-i\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}}}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]e^{i\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}^{\prime}}}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right)\nonumber\\ =&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}e^{i\frac{q}{\hbar}\int_{\mathbf{R}^{\prime}}^{\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}\nonumber\\&\times\int d\mathbf{r}e^{i\frac{q}{\hbar}\Phi\left(\mathbf{r}\right)}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}+q\nabla G_{\mathbf{R}^{\prime}}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right)\nonumber\\ =&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}e^{i\frac{q}{\hbar}\int_{\mathbf{R}^{\prime}}^{\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}\int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right). \end{align}$$ La relación $\nabla G_{\mathbf{R}^{\prime}}=\mathbf{A}$se cumple para la condición de unión estrecha y en el caso en que el campo magnético es invariable en la escala de la red cristalina . Por otro lado, el flujo $\Phi\left(\mathbf{r}\right)=\oint_{\mathbf{R}^{\prime}\rightarrow\mathbf{r}\rightarrow\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$es mayor cuando el integrando $\mathbf{r}$está más lejos de los dos vectores $\mathbf{R}$y $\mathbf{R}^{\prime}$, donde los estados de Wannier de los orbitales atómicos son efectivamente cero, mientras que el flujo se desvanece donde la integral de salto es distinta de cero. Tener estas dos cosas en mente ayuda a explicar la transición de la segunda a la tercera línea.

Ahora resulta evidente que los elementos de la matriz son los mismos que en el caso sin campo magnético, aparte del factor de fase captado, que se denomina fase de Peierls. Esto es tremendamente conveniente, ya que podemos usar los mismos parámetros de material independientemente del valor del campo magnético, y la fase correspondiente es computacionalmente trivial de tener en cuenta. Para los electrones equivale a reemplazar el término de salto$t_{ij}$con$t_{ij}e^{i\frac{e}{\hbar}\int_i^j\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}$. Finalmente, tenga en cuenta que también se puede encontrar una explicación hermosa y esclarecedora para esta fase en las Conferencias de Feynman (Vol. III, Capítulo 21).