Función de partición de un gas de NNN partículas clásicas idénticas

Note que el$e^{-\beta H}$es adimensional, mientras que cada factor de$dp$contribuye un factor con las dimensiones del impulso, mientras que cada$dx$contribuye un factor con las dimensiones de longitud. Por lo tanto, cada factor$dp dx$contribuye un factor con dimensiones de momento angular. Puesto que hay$3N$de estos factores (N partículas y 3 dimensiones) en la medida de integración, la integral tiene una dimensión total de momento angular a la potencia de$3N$. Por otro lado,$h$tiene dimensiones de momento angular, por lo que dividiendo por$h^{3N}$hace que la expresión completa sea adimensional.

La forma más fácil de pensarlo es que$\exp(\dots)$es solo un número y no afecta la dimensión. Sin embargo, todavía tienes$3N$factores de los momentos y la posición que se encuentran alrededor que le darán dimensiones de [Longitud x Momento]${}^{3N}$. La constante de Planck tiene las unidades de Longitud x Momento, por lo que la$3N$factores de$h$cancelar el$3N$factores provenientes de la integral.

El espacio de fase de las componentes de coordenadas y momentos de las N partículas tiene cierto tamaño en ese espacio, hay un número de microestados dentro de este tamaño determinado por el tamaño de celda en el espacio de fase cuantificado (debido a la incertidumbre h para cada grado de libertad dx dp y para 3N grados de libertad de las N partículas) será h^3N. ¡El número de arreglos posibles de estas N partículas distinguibles es N! repetidas en el numerador), pero son indistinguibles, debemos corregirlo dividiendo la cantidad b N!.