¿Cómo evoluciona un estado en la mecánica cuántica?

Tengo una pregunta sobre la evolución temporal de un estado en mecánica cuántica. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se da como

i ℏ d d t | ψ ( t ) ⟩ = H | ψ ( t ) ⟩

Estoy autoaprendiendo la mecánica cuántica, por lo que hay algunas preguntas conceptuales que me confunden. Estoy leyendo un libro en el que el autor enfatiza que cualquier estado podría expandirse en términos de estados propios y valores propios del hamiltoniano. Entonces, ¿significa en la ecuación anterior que no requiere ψ ( t ) ser un estado propio (es decir, podría ser cualquier cosa)?

Me pregunto si solo es cierto cuando estamos tratando de expandir un estado estacionario en términos de estados propios, es decir

C norte ( 0 ) = ⟨ mi norte | ψ ( 0 ) ⟩

Pero si el estado depende del tiempo, el coeficiente de expansión C norte ya no es estacionario sino que evoluciona en el tiempo, el libro da

C norte ( t ) = C norte ( 0 ) Exp ⁡ ( − i mi norte t )
dónde mi norte es el valor propio. Entonces la evolución temporal del estado es

| ψ ( t ) ⟩ = ∑ norte C norte ( t ) | mi norte ⟩

¿es correcto? Entiendo las matemáticas. Pero físicamente, ¿cómo entendemos el coeficiente inicial C norte ( 0 ) evoluciona en forma exponencial? y por qué la exponencial tiene valor propio mi norte ? Me parece que diferentes valores propios juegan un papel diferente en la evolución del tiempo, ¿por qué? Si observamos las matemáticas, parece que la contribución del estado propio con mayor 'energía' (valor propio) está disminuyendo más rápido en el tiempo, ¿cuál es la razón física de eso?

La última pregunta es incluso confusa. El texto decía que el sistema podría tener muchos estados diferentes. Pero cuando lo mida, solo se mostrará uno de los estados propios y el valor medido será el valor propio correspondiente. No entiendo esta afirmación, pero asumo que es verdad. Entonces, si el estado del sistema es inicialmente | ψ ( 0 ) ⟩ y evoluciona en el tiempo como | ψ ( t ) ⟩ . Mido el sistema en el tiempo t = τ , entonces, en este momento, ¿sigue siendo cierto que el resultado debe ser uno de los valores propios incluso si el estado depende del tiempo?

Respuestas (1)

Primero, preguntó si las funciones de onda no tienen por qué ser funciones propias del hamiltoniano. Eso es correcto; puede ver esto a través de una descomposición de Fourier. Cada función propia del hamiltoniano tiene una energía diferente y, por lo tanto, una frecuencia diferente (las dos son esencialmente equivalentes a través de mi = ℏ ω ), y estas frecuencias determinan cómo evoluciona cada función propia en el tiempo. Aún así, es perfectamente legal sumar combinaciones lineales de funciones propias para construir una función de onda arbitraria, y a menudo lo hacemos.

Creo que una buena manera de visualizarlo es observar cada función propia del hamiltoniano como una precesión en el plano complejo. Es el valor propio (la energía o la frecuencia) lo que determina la rapidez con la que la función propia precede con el tiempo.

En un momento, mencionas que pensabas que los estados con energías más altas estaban disminuyendo más rápido en el tiempo. Los exponenciales complejos no funcionan así. Son como ondas de seno y coseno, o puedes imaginarlas (como yo) simplemente trazando círculos en el plano complejo. Los estados de mayor energía simplemente trazan estos círculos más rápido .

Su pregunta final se refiere a un asunto que es más convencional. Recuerde que un múltiplo complejo de un estado propio sigue siendo un estado propio y, como tal, incluso si un estado propio ha evolucionado en el tiempo, el estado evolucionado sigue siendo un estado propio del hamiltoniano. Entonces, si una función de onda evolucionada se colapsa a un estado propio evolucionado, la idea general de que el resultado es un valor propio multiplicado por un estado propio aún se aplica.

Gracias por tu clara explicación, me ayuda a entender más ahora. Aprecio que haya señalado que el exponencial complejo no es lo mismo que el exponencial real, así que creo que cuando el valor propio aparece en el exponencial complejo, físico, ¿puedo decir que el estado de mayor energía (valor propio) está oscilando más rápido?
Por cierto, para la última pregunta. Lo que me confunde es esto ... permítanme reformularlo como una nueva pregunta: si el sistema depende del tiempo, entonces el estado evoluciona en el tiempo | ψ ( t ) ⟩ , entonces, ¿qué puedo decir sobre los estados propios? ¿Los estados propios y los valores propios permanecerán siempre sin cambios durante la evolución del tiempo? Las matemáticas son un poco complicadas aquí, cuando tenemos | ψ ( t ) ⟩ = ∑ norte C norte ( t ) | mi norte ⟩ , parece que los estados propios | mi norte ⟩ no se modifican, pero los coeficientes de proyección C norte ahora cambiado en el tiempo.
Puede, según su conveniencia, decir que (a) los coeficientes son constantes en el tiempo y los estados propios evolucionan o (b) los coeficientes evolucionan en el tiempo y los estados propios no. Los dos deben ser matemáticamente equivalentes. Es solo una cuestión de gusto y/o contabilidad matemática.
ah, claro. Muchas gracias por tu ayuda. Realmente aclara mis preguntas.
@Muphrid con respecto a la primera parte de una pregunta, ¿qué significa tener 'la evolución temporal de un sistema que no está en un estado propio de energía'? Está en el plan de estudios de mi curso de mecánica cuántica, y no puedo encontrar ningún material que explique cómo evolucionan los sistemas en el tiempo si no están en un estado propio.
@inya En realidad, solo se trata de aplicar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. La respuesta debería abordar directamente este problema: puede descomponer una función de onda en una combinación lineal de estados propios de energía, y cada uno de ellos evoluciona en el tiempo de acuerdo con su frecuencia característica. Luego, simplemente vuelva a agregarlos para obtener la función de onda evolucionada.
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