Prueba de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Tengo una pregunta con respecto a la prueba de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Entonces, si tenemos un hamiltoniano independiente del tiempo, podemos resolver la ecuación de Schrödinger adoptando el método de separación de variables: escribimos nuestra solución general como ψ ( r , t ) = ψ ( r ) ∗ F ( t ) y llegamos a las dos ecuaciones: una para f(t) y otra para ψ ( r ) .

F ( t ) = mi − i ℏ H t
y
H ψ ( r ) = mi ψ ( r )
Los libros en general se refieren a la segunda ecuación como TISE y se ve como un problema de valores propios para el hamiltoniano, para encontrar los estados estacionarios. Ahora lo que no entiendo es por qué vemos esa ecuación como un problema de valor propio para el hamiltoniano, ya que tenemos una función de onda ψ ( X ) que se supone que es el estado propio de H. Entonces, si ψ ( X ) es estado propio para H, significa que H es diagonal en base a coordenadas, pero sé que no es cierto ya que H tiene el término PAG 2 2 metro en él, que no es diagonal en base coordenada. donde me equivoco?? Muchas gracias

H no es diagonal en base a coordenadas, pero en el ψ ( r ) Eigenbasis que estás calculando...
ok gracias se trata de ψ ( r ) y no las coordenadas en realidad. Pero ¿por qué estamos seguros de que ψ ( r ) es función propia de H ? Cuando separo las variables solo digo que tengo una función F ( t ) y una funcion ψ ( r ) , puede ser cualquier función a determinar

Respuestas (1)

Comience con la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

H ^ Ψ ( r , t ) = i ℏ ∂ t Ψ ( r , t ) .

Usando el ansatz Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) F ( t ) rendimientos

F ( t ) H ^ ψ ( r ) = i ℏ ψ ( r ) ∂ t F ( t )

y, a través del truco estándar de separación de variables,

i ℏ F ˙ ( t ) F ( t ) = constante = H ^ ψ ( r ) ψ ( r ) ;

los dos lados son iguales, pero el LHS depende solo de t mientras que el RHS depende sólo de r , por lo que cada uno tiene que ser constante. Llamemos a esta constante mi . Entonces, para la parte dependiente del tiempo, obtenemos

F ˙ ( t ) = − i mi ℏ F ( t )

Lo cual se resuelve manifiestamente por

F ( t ) = Exp ⁡ { − i mi ℏ t } .

Para la parte espacial, encontramos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

H ^ ψ ( r ) = mi ψ ( r ) ,

que, como observa, se puede ver como una ecuación de valor propio para H ^ . Esto motiva la elección del nombre para mi : Físicamente, el valor propio del hamiltoniano es la energía.

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