¿Cómo actúa un operador de la forma eβH^eβH^e^{\beta \hat{H}} en un estado propio?

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$Demos un paso atrás y veamos un operador lineal arbitrario$H$(No me gusta poner sombreros en los operadores). Probablemente sepas por tus clases de álgebra lineal cómo actuar sobre un vector$\ket \psi$. Bueno, es solo$H \ket \psi = \ket \varphi$, que por supuesto es otro vector en su espacio vectorial, que he llamado$\ket \varphi$. Ahora probablemente también sepas cómo$H^2$actúa sobre un vector; es decir, solo actúas con el operador$H$dos veces:

$$H^2 \ket \psi = H (H \ket \psi) = H \ket \varphi = \ket \chi$$

donde definí el vector$\ket \chi := H \ket \varphi$

Por inducción, también sabes cómo$H^n$actos para$n \in \mathbb N$.

Recuerda también que estás en un espacio vectorial, es decir, puedes sumar dos vectores y, en particular, dos operadores lineales. Por ejemplo, veamos el operador$H^2+H$:

$$(H^2+H) \ket \psi = H^2 \ket \psi + H \ket \psi = \ket \chi + \ket \varphi$$

Nuevamente por inducción sabes para un polinomio$p(x) = \sum_{k=1}^n a_k x^k$, dónde$a_k \in \mathbb C$algunos coeficientes constantes, cómo el operador$p(H)$Actúa sobre estados:

$$p(H) \ket \psi = \sum_{k=1}^n a_k (H^k \ket \psi)$$

Sin preocuparnos demasiado por cuestiones de convergencia (somos físicos (!)), podemos definir el mapa exponencial de un operador:

$$\exp(H) = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n!} \, H^n \implies \exp(H) \ket \psi = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n!} \, (H^n \ket \psi)$$

El resultado es que tienes que definir la exponencial de un operador y no hay forma de evitarlo. Sin embargo, hay un caso especial cuando, por ejemplo, tiene un vector propio del operador. Supongamos que el vector$\ket E$es un vector propio de$H$con valor propio$E$es decir$H \ket E = E \ket E$, entonces nosotros tenemos:

$$\exp(H) \ket E = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n!} \, (H^n \ket E ) = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{E^n}{n!}\ket E = \exp(E)\ket E$$

En analogía, puedes convencerte de que si puedes escribir una función$f$en serie de taylor y si$\ket E$es un vector propio de$H$como arriba entonces tenemos$f(H) \ket E = f(E) \ket E$.

Espero que esto te ayude a entender la exponencial de un operador. Si tienes alguna pregunta, ¡no dudes en preguntar!

La exponencial de un operador se define por su expansión en serie:

$$\begin{align} e^{\beta \hat H}&= \hat 1 +\beta \hat H+\frac{1}{2}\beta^2\hat H^2+\ldots \, ,\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \hat H^k}{k!}\, .\tag{1} \end{align}$$ Si $\vert\psi\rangle$es un estado propio de $\hat H$de modo que $$\hat H\vert\psi\rangle=\lambda\vert\psi\rangle\, ,\quad \hat H^2\vert\psi\rangle=\lambda^2\vert\psi\rangle\, ,\quad \hat H^n\vert\psi\rangle=\lambda^n\vert\psi\rangle$$ entonces $$e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle =\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \hat H^k}{k!}\vert\psi\rangle =\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \lambda^k}{k!}\vert\psi\rangle =e^{\beta \lambda}\vert\psi\rangle\, .$$

Si$\vert\psi\rangle$no es un estado propio, hay menos opciones. Primero, trabaje en detalles

$$e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle=\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \hat H^k}{k!}\vert\psi\rangle \tag{2}$$ y espero que cada uno $\hat H^k\vert\psi\rangle$se puede simplificar Esto ocurre, por ejemplo, con las matrices de Pauli donde, digamos, $\hat H=\sigma_j$y $\sigma_j^2=\hat 1$para cualquier $j=x,y,z$. Entonces puede ser posible reanudar la serie en (2).

La segunda alternativa es ampliar$\vert\psi\rangle$en términos de estados propios de$\hat H$. Así, si$\vert\mu_\alpha\rangle$es tal que

$$\begin{align} \hat H\vert\mu_\alpha\rangle&=\lambda_\alpha\vert\mu_\alpha\rangle\, ,\\ \vert\psi\rangle&=\sum_{\alpha}\vert\mu_\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle \end{align}$$ entonces $$e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle=\sum_{\alpha}e^{\beta\hat H}\vert\mu_\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle =\sum_{\alpha}e^{\beta\lambda_\alpha}\vert\mu_\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle$$ que no se puede resumir más en general.

Todavía puede calcular, por ejemplo,

$$\begin{align} \langle\psi\vert e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle &= \sum_{\alpha\kappa}e^{\beta \lambda_\alpha} \langle\psi\vert\mu_\kappa\rangle \langle \mu_\kappa\vert\mu _\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle\, ,\\ &= \sum_{\alpha}e^{\beta \lambda_\alpha} \langle\psi\vert\mu_\alpha\rangle \langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle \end{align}$$ dónde $\langle \mu_\kappa\vert\mu _\alpha\rangle=\delta_{\mu\alpha}$ha sido usado.

La definición de la matriz exponencial proviene directamente de la expansión de Taylor de$e^x$. Por lo tanto, siempre puede sustituir la matriz exponencial por su definición.

Todavía puede usar la expansión de Taylor en el ejemplo que proporcionó. solo tomas$x$ser$\beta \hat{H}$y aplique la expansión de Taylor como lo haría normalmente.