Dos preguntas sobre la integral de trayectoria de "Gauge Fields and Strings" de Polyakov

Mis preguntas son sobre las integrales de ruta de línea de mundo del libro Gauge Fields and Strings of Polyakov. En la página 153, capítulo 9, dice

Comencemos con la siguiente integral de trayectoria

$$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)]=\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\delta(\overset{\,\centerdot}{x}{}^{2}(\tau)\boldsymbol{-}h(\tau)) \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\lambda(\tau)\exp\left(i\int_{0}^{1}d\tau\lambda(\tau)h(\tau)\right)\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\exp\left(-i\int_{0}^{1}d\tau\lambda(\tau)\dot{x}^{2}(\tau)\right) \tag{9.8}\label{9.8} \end{align}$$ dónde$h(\tau)$es el tensor métrico de línea de mundo.

La acción en (9.8) es invariante bajo reparametrizaciones, si transformamos:

$$\begin{align} x(\tau)&\rightarrow x(f(\tau)) \nonumber\\ h(\tau)&\rightarrow\left(\frac{df}{d\tau}\right)^{2}h(f(\tau)) \tag{9.9}\label{9.9}\\ \lambda(\tau)&\rightarrow\left(\frac{df}{d\tau}\right)^{-1}\lambda(f(\tau)) \end{align}$$

Polyakov continuó con la siguiente declaración.

Es conveniente introducir en lugar del vector worldline$\lambda(\tau)$, el multiplicador de Lagrange escalar de línea de mundo$\alpha(\tau)$:

$$\begin{align} \lambda(\tau)&\equiv\alpha(\tau)h(\tau)^{-1/2} \nonumber\\ \alpha(\tau)&\rightarrow\alpha(f(\tau)) \tag{9.11} \end{align}$$ De modo que: $$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)] \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\alpha(\tau)e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int_{x}^{y}\mathscr{D}x(\tau)\exp\left(-i\int_{0}^{1}d\tau\frac{\alpha(\tau)\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}\right) \tag{9.12} \end{align}$$

1. Mi primera pregunta es sobre la ecuación (9.12). Lo que hizo Polyakov allí fue reemplazar audazmente la medida integral$\mathscr{D}\lambda$por$\mathscr{D}\alpha$. ¿No se perdió el factor jacobiano?

$$\mathscr{D}\lambda=\mathscr{D}\alpha\det\left(\frac{\delta\lambda}{\delta\alpha}\right)$$

Mi segunda pregunta es la siguiente.

Introdujo otro parámetro$t$, llamado tiempo propio, definido como

$$\begin{align} t\equiv\int_{0}^{\tau}\sqrt{h(s)}ds;\quad T\equiv t(1) \tag{9.13} \end{align}$$ y entonces $$\begin{align} &\mathscr{H}(x,y)[h(\tau)]\equiv\mathscr{H}(x,y;T) \nonumber\\ &=\int\mathscr{D}\alpha\exp i\int_{0}^{T}\alpha(t)dt\int_{x}^{y}\mathscr{D}x\exp-i\int_{0}^{T}\alpha(t)\dot{x}^{2}(t)dt \tag{9.14} \end{align}$$

2. ¿Alguien puede decirme cómo derivó la ecuación (9.14) mediante el uso del parámetro "tiempo adecuado"?$t$?

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Nueva edición : como señaló @Qmechanics en su respuesta, a la ecuación (9.12) le falta un factor jacobiano. La integral de trayectoria correcta debe ser

$$\int\mathscr{D}\alpha(\tau)(h(\tau))^{-1/2}e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}.$$

En la página 152, Polyakov comenzó con la función de dos puntos

$$\begin{align} &G(x,y)=\int\frac{\mathscr{D}x(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{\dot{x}^{2}(\tau)}d\tau\right) \tag{9.6} \\ &=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau\right)\int\mathscr{D}x(\tau)\delta(\dot{x}^{2}(\tau)-h(\tau)) \tag{9.7} \end{align}$$

Entonces, usando el resultado corregido anterior, uno tiene

$$\begin{align} &G(x,y)=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}\exp\left(-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau\right)\cdot \nonumber\\ &\cdot\int\mathscr{D}\alpha(\tau)(h(\tau))^{-1/2}e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}. \end{align}$$

Por lo tanto, uno tiene

$$G=\int\frac{\mathscr{D}h(\tau)}{\mathrm{Vol}\mathfrak{Diff}}(h(\tau))^{-1/2}e^{-m\int_{0}^{1}\sqrt{h(\tau)}d\tau}\int\mathscr{D}\alpha(\tau)e^{i\int_{0}^{1}d\tau\alpha(\tau)\sqrt{h(\tau)}}\int\mathscr{D}x(\tau)e^{-i\int_{0}^{1}\alpha(\tau)\frac{\dot{x}^{2}(\tau)}{\sqrt{h(\tau)}}d\tau}$$

El problema es que el factor jacobiano$h^{-1/2}$ya rompe la invariancia de reparametrización de la acción efectiva. ¿Cómo tiene sentido la integral de trayectoria anterior?