Propagador de espacio libre: reconciliación de dos resultados

Question

Propagador de espacio libre: reconciliación de dos resultados

Física
propagador
normalización
integral de trayectoria
mecánica cuántica
determinantes funcionales

M.Zeng

En mecánica cuántica, el propagador de espacio libre $G(q_f=0,q_i=0;\tau)$ se puede calcular fácilmente para ser

\sqrt{\frac{metro}{2 π i ℏ τ}}

$\sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar \tau}}$ insertando un operador de identidad.

Sin embargo, si usamos la integral funcional, obtenemos

\begin{aligned} GRAMO (q_{F} = 0, q_{i} = 0; τ) & = \int D q {mi}^{- \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{τ} d t \frac{metro}{2} {\dot{q}}^{2}} \\ = \int D r {mi}^{- \frac{i}{ℏ} (S [q_{C yo}] + S [r (t)])} \\ = \int D r {mi}^{- \frac{i}{ℏ} S [r (t)]} \\ = \int D r {mi}^{\frac{i}{ℏ} \int d t r (t) \partial_{t}^{2} r (t)} \\ = (det [\frac{i}{π ℏ} \partial_{t}^{2}])^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} G(q_f=0,q_i=0;\tau)&=\int Dq e^{-\frac{i}{\hbar}\int_0^{\tau} dt \frac{m}{2}\dot{q}^2}\\ &=\int Dr e^{-\frac{i}{\hbar}(S[q_{cl}]+S[r(t)])}\\ &=\int Dr e^{-\frac{i}{\hbar}S[r(t)]}\\ &=\int Dr e^{\frac{i}{\hbar}\int dt r(t)\partial_t^2 r(t)}\\ &=(\det[\frac{i}{\pi\hbar}\partial_t^2])^{-1/2} \end{split} \end{equation}$ donde la trayectoria clásica

q_{c l} (t) = 0

$q_{cl}(t)=0$ debido a las condiciones de contorno y

r (t)

$r(t)$ es la fluctuación. Si resolvemos los estados propios y los valores propios de

\partial_{t}^{2}

$\partial_t^2$ :

\partial_{t}^{2} r_{norte} (t) = λ_{norte} r_{norte} (t)

$\partial_t^2 r_n(t)=\lambda_nr_n(t)$ con

r_{n} (0) = r_{0} (τ) = 0

$r_n(0)=r_0(\tau)=0$ , obtenemos

r_{n} (t) = \sin (n π t / τ)

$r_n(t)=\sin(n\pi t/\tau)$ y

λ_{n} = (n π / τ)^{2}

$\lambda_n=(n\pi/\tau)^2$ . Por lo tanto, tenemos

det (\partial_{t}^{2}) = \prod_{j = 1}^{\infty} (norte π / τ)^{2}

$\det(\partial_t^2)=\prod_{j=1}^{\infty}(n\pi/\tau)^2$ que va al infinito y como resultado el propagador parece ir a 0.

No estoy seguro de dónde salió mal este cálculo. Cualquier ayuda es apreciada.

Editar: sugerido por @AccidentalFourierTransform, a continuación se muestra el enfoque de la función zeta, que todavía no parece funcionar.

por simplicidad establecemos todas las constantes irrelevantes a 1, y así $\lambda_n=n^2$ , entonces nosotros tenemos

ζ (s) = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{λ_{norte}^{s}} = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{2 s}}

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_n^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2s}}$ y luego necesitamos calcular la derivada de la función zeta y luego tomar el límite de

s

$s$ va a 0 seguido de exponenciación para obtener el determinante.

ζ^{'} (s) = \sum_{norte = 1}^{\infty} - \frac{yo norte λ_{norte}}{{norte}^{2 s}}

$\zeta'(s)=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{ln\lambda_n}{n^{2s}}$ Intenté numéricamente tomando

s

$s$ a 0 tanto del eje real como del eje imaginario, pero ambos parecen divergir, es decir, permanece el mismo problema.

AccidentalFourierTransformar

¿Has probado a regularizar el producto? ver Determinante funcional

M.Zeng

Creo que esto normalmente se hace para propagadores con algún potencial distinto de cero, donde tomamos la relación entre este propagador y el propagador libre. Pero, ¿cómo eludimos los infinitos en el propagador libre? ¿Significa esto que el determinante funcional en este caso simplemente no puede producir ningún resultado sensible?

AccidentalFourierTransformar

dejar

λ_{n} = n π / τ

$\lambda_n= n\pi/\tau$ ; tenga en cuenta que

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{- \log λ_{n}}{λ_{n}^{s}}

$\sum_{n=1}^\infty\frac{-\log\lambda_n}{\lambda_n^s}$

= (τ / π)^{s} \log (π τ) ζ (s) + (τ / π)^{s} ζ^{'} (s) \to - \frac{1}{2} \log (2 τ)

$=(\tau/\pi)^s\log(\pi\tau)\zeta (s)+(\tau/\pi)^s\zeta'(s)\to-\frac{1}{2}\log(2\tau)$ como

s \to 0

$s\to 0$ . Tomando la exponencial obtenemos

G = \frac{1}{\sqrt{2 τ}}

$G=\frac{1}{\sqrt{2\tau}}$ . Este resultado es incorrecto, pero debido a que también lo es su expresión para

λ_{n}

$\lambda_n$ (por ejemplo, debe depender de

m

$m$ ).

AccidentalFourierTransformar

de todos modos, los cálculos de mi último comentario probablemente estén equivocados (no los hice con mucho cuidado), pero mi punto es: 1) calcular los valores propios de

\frac{i m}{π ℏ} \partial_{t}^{2}

$\frac{im}{\pi\hbar}\partial_t^2$ , y llámalos

λ_{n}

$\lambda_n$ . 2) a continuación, use la expresión del enlace que publiqué antes (

det (S) = \sum \frac{\log λ}{λ^{s}}

$\text{det}(S)=\sum \frac{\log\lambda}{\lambda^s}$ ), y extender esta función al plano complejo. 3) Luego, tome el límite

s \to 0

$s\to 0$ y finalmente exponenciar el resultado. Debes obtener el resultado correcto para

G

$G$ (si hace esto, publique su trabajo aquí y lo revisaremos, y podría ser útil para otros usuarios en el futuro)

M.Zeng

@AccidentalFourierTransform He agregado el cálculo según su sugerencia, pero parece que no funciona. Por favor, consulte la versión editada de la pregunta.

qmecanico

Comentario menor a la pregunta (v5): El signo menos en el argumento de la primera función exponencial no corresponde a la convención de signos estándar (Minkowski).

AccidentalFourierTransformar

@ M.Zeng, se supone que no debes evaluar la suma: la representación en serie de la función zeta no convergerá para

s \leq 1

$s\le1$ (en tu caso quieres

s \to 0

$s\to0$ ). Lo que tienes que hacer es usar la continuación analítica de

ζ (s)

$\zeta(s)$ para valores negativos de

s

$s$ . Ver el artículo de wikipedia para

ζ (s)

$\zeta(s)$ : allí encontrará representaciones equivalentes que convergen para

s \to 0

$s\to0$ . (pensar en

\sum x^{n}

$\sum x^n$ : converge para

| x | < 1

$|x|<1$ , pero su continuación analítica

\frac{1}{1 - x}

$\frac{1}{1-x}$ converge para cualquier

x \neq 1

$x\neq1$ ; quieres hacer lo mismo por

ζ (s)

$\zeta(s)$ , donde la serie original no es adecuada para general

s

$s$ )

M.Zeng

ok, aquí está la pregunta, ¿por qué se supone que no debo hacerlo de esta manera? La representación en serie es lo que obtenemos directamente de la integral funcional. Si necesitamos hacer algo más con la serie para obtener resultados físicamente sensibles, entonces eso debe deberse al problema de la integración funcional.

Respuestas (1)

Propagador de espacio libre: reconciliación de dos resultados

¿Has probado a regularizar el producto? ver Determinante funcional
Creo que esto normalmente se hace para propagadores con algún potencial distinto de cero, donde tomamos la relación entre este propagador y el propagador libre. Pero, ¿cómo eludimos los infinitos en el propagador libre? ¿Significa esto que el determinante funcional en este caso simplemente no puede producir ningún resultado sensible?
dejar $\lambda_n= n\pi/\tau$ ; tenga en cuenta que $\sum_{n=1}^\infty\frac{-\log\lambda_n}{\lambda_n^s}$ $=(\tau/\pi)^s\log(\pi\tau)\zeta (s)+(\tau/\pi)^s\zeta'(s)\to-\frac{1}{2}\log(2\tau)$ como $s\to 0$ . Tomando la exponencial obtenemos $G=\frac{1}{\sqrt{2\tau}}$ . Este resultado es incorrecto, pero debido a que también lo es su expresión para $\lambda_n$ (por ejemplo, debe depender de $m$ ).
de todos modos, los cálculos de mi último comentario probablemente estén equivocados (no los hice con mucho cuidado), pero mi punto es: 1) calcular los valores propios de $\frac{im}{\pi\hbar}\partial_t^2$ , y llámalos $\lambda_n$ . 2) a continuación, use la expresión del enlace que publiqué antes ( $\text{det}(S)=\sum \frac{\log\lambda}{\lambda^s}$ ), y extender esta función al plano complejo. 3) Luego, tome el límite $s\to 0$ y finalmente exponenciar el resultado. Debes obtener el resultado correcto para $G$ (si hace esto, publique su trabajo aquí y lo revisaremos, y podría ser útil para otros usuarios en el futuro)
@AccidentalFourierTransform He agregado el cálculo según su sugerencia, pero parece que no funciona. Por favor, consulte la versión editada de la pregunta.
Comentario menor a la pregunta (v5): El signo menos en el argumento de la primera función exponencial no corresponde a la convención de signos estándar (Minkowski).
@ M.Zeng, se supone que no debes evaluar la suma: la representación en serie de la función zeta no convergerá para $s\le1$ (en tu caso quieres $s\to0$ ). Lo que tienes que hacer es usar la continuación analítica de $\zeta(s)$ para valores negativos de $s$ . Ver el artículo de wikipedia para $\zeta(s)$ : allí encontrará representaciones equivalentes que convergen para $s\to0$ . (pensar en $\sum x^n$ : converge para $|x|<1$ , pero su continuación analítica $\frac{1}{1-x}$ converge para cualquier $x\neq1$ ; quieres hacer lo mismo por $\zeta(s)$ , donde la serie original no es adecuada para general $s$ )
ok, aquí está la pregunta, ¿por qué se supone que no debo hacerlo de esta manera? La representación en serie es lo que obtenemos directamente de la integral funcional. Si necesitamos hacer algo más con la serie para obtener resultados físicamente sensibles, entonces eso debe deberse al problema de la integración funcional.

qmecanico · Answer 1

La pregunta subyacente de OP es esencialmente la misma que esta publicación de Phys.SE, aunque el cálculo detallado es ligeramente diferente e interesante de comparar.

I) La acción para una partícula puntual libre no relativista con masa $m=1$ lee:

\begin{matrix} (1) & S = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} d t \dot{X} (t)^{2} = \frac{1}{2} ⟨ X, A X ⟩ = \frac{1}{2} \sum_{norte \in norte} λ_{norte} C_{norte}^{2} . \end{matrix}

$\tag{1} S ~=~\frac{1}{2}\int_0^T\! dt~ \dot{x}(t)^2~=~ \frac{1}{2}\langle x,Ax \rangle~=~\frac{1}{2}\sum_{n\in \mathbb{N}} \lambda_n c_n^2 .$

Aquí hemos asumido condiciones de contorno de Dirichlet (DBC)

\begin{matrix} (2) & X (0) = 0 = X (T) . \end{matrix}

$\tag{2} x(0)~=~0~=~x(T).$

Además, aquí

\begin{matrix} (3) & ⟨ F, gramo ⟩ := \int_{0}^{T} d t F (t) gramo (t) \end{matrix}

$\tag{3} \langle f,g \rangle ~:=~ \int_0^T\! dt ~f(t)g(t)$

es un producto interno sobre $\mathbb{R}$ .

II) En la ec. (1) también hemos introducido un operador positivo

\begin{matrix} (4) & A := - \partial_{t}^{2} \end{matrix}

$\tag{4} A~:=~-\partial_t^2$

con valores propios positivos

\begin{matrix} (5) & λ_{norte} = {(\frac{π norte}{T})}^{2} > 0, norte \in norte . \end{matrix}

$\tag{5} \lambda_n~=~\left(\frac{\pi n }{T}\right)^2~>~0, \qquad n\in \mathbb{N}.$

El determinante se convierte a través de la regularización de la función zeta

\begin{matrix} (6) & det (A) = \prod_{norte \in norte} λ_{norte} = {(\prod_{norte \in norte} \frac{π norte}{T})}^{2} = 2 T, \end{matrix}

$\tag{6}\det(A)~=~\prod_{n\in\mathbb{N}} \lambda_n~=~\left(\prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\pi n }{T}\right)^2 ~=~2T ,$

usando por ejemplo la ec. (7) en mi respuesta Phys.SE aquí .

III) Las funciones propias normalizadas son

\begin{matrix} (7) & X_{norte} (t) = \sqrt{\frac{2}{T}} pecado \frac{π norte}{T} t, norte \in norte . \end{matrix}

$\tag{7} x_n(t) ~=~ \sqrt{\frac{2}{T}} \sin \frac{\pi n }{T}t , \qquad n\in \mathbb{N}.$

Una ruta virtual arbitraria $t\mapsto x(t)$ que satisface el DBC (2) es una combinación lineal

\begin{matrix} (8) & X = \sum_{norte \in norte} C_{norte} X_{norte}, \end{matrix}

$\tag{8} x ~=~ \sum_{n\in \mathbb{N}} c_n x_n,$

dónde $c_n\in\mathbb{R}$ son coeficientes arbitrarios, que deberíamos integrar en la integral de trayectoria.

IV) Consideremos ahora la mecánica cuántica. Asumamos $\hbar=1$ por simplicidad. La medida de la integral de trayectoria es

\begin{matrix} (9) & D X := norte \prod_{norte \in norte} \frac{d C_{norte}}{\sqrt{2 π}}, \end{matrix}

$\tag{9} {\cal D}x~:=~N \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\mathrm{d}c_n}{\sqrt{2\pi}} ,$

dónde $N$ es un factor de normalización. Entonces, la integral de trayectoria euclidiana es una integral gaussiana de dimensión infinita

\begin{matrix} (10) & Z = \int_{D B C} D X {mi}^{- S} = \frac{norte}{\sqrt{det (A)}} = \frac{norte}{\sqrt{2 T}} . \end{matrix}

$\tag{10} Z~=~\int_{DBC} \!{\cal D}x ~e^{-S}~=~\frac{N}{\sqrt{\det (A)}} ~=~ \frac{N}{\sqrt{2T}}.$

Aparentemente deberíamos elegir el factor de normalización. $N=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ para lograr la versión euclidiana de la primera fórmula de OP

\begin{matrix} (11) & Z = \frac{1}{\sqrt{2 π T}} . \end{matrix}

$\tag{11} Z~=~\frac{1}{\sqrt{2 \pi T}}.$

parece que todo el problema tiene su origen en la representación en serie de las funciones analíticas y la continuación analítica. Debido a la técnica de integración funcional que empleamos, tenemos una serie que diverge en la región de interés, y luego usamos la continuación analítica para ampliar la región de convergencia y finalmente obtener algún resultado finito que funcione. ¿Se debe esto al problema intrínseco de la integración funcional? ¿Y es esta parte de la razón por la que la gente sigue buscando una justificación matemáticamente rigurosa de esta técnica?
Necesitamos usar la regularización para dar sentido a la integral de trayectoria. No es necesario que sea la regularización de la función zeta . También es posible utilizar otras regularizaciones, como por ejemplo la regularización de Pauli-Villar .

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