Cálculo del potencial del campo electrónico

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Cálculo del potencial del campo electrónico

amagicalfishy

Me doy cuenta de que muchas veces me hago tropezar al preguntarme si puedo hacer algo matemáticamente o no, y no puedo encontrar una respuesta satisfactoria. Este es, desafortunadamente, uno de esos momentos.

Me dijeron:

Un campo eléctrico uniforme, $\vec{E} = E_0\hat{x}$ . ¿Cuál es el potencial, expresado en coordenadas cilíndricas, $V(s,\phi,z)$ ?

Mi primer curso de acción es:

Sabemos...

| r | = \sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{X^{2}} = X = {mi}_{0}

$|r| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2} = x = E_0$

{broncearse}^{- 1} \frac{y}{X} = θ = 0

$\tan^{-1}{\frac{y}{x}} = \theta = 0$

z = z = 0

$z = z = 0$

Entonces el campo eléctrico solo tiene un componente en el $\hat{r}$ dirección.

Ahora, sabemos que $\vec{E} = -\nabla V(r, \phi, z) = - \frac{\partial V}{r} - \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\theta} - \frac{\partial V}{z}$

Entonces, pienso "Oh, solo tengo que integrarme". ... pero ¿sobre qué? ¿Integro tres veces, una vez con el radio, luego con phi y luego con z? Estoy bastante seguro de que no me dará la respuesta correcta. Si decido expresar $\nabla V$ en términos de coordenadas cartesianas, obtengo $- \nabla V(x,y,z) = E_0 \hat{x}$ ... pero la pregunta sigue en pie.

Siento que esta es definitivamente la parte fácil del problema y, a menudo, puedo hacer las partes más complicadas; son solo cosas pequeñas como esta que a menudo me desconciertan. ¿Cómo haría para extraer el potencial de cualquiera de esas ecuaciones? Sé que tengo que integrarme, pero... ¿dónde?

basureroDoofus

Hay muchas identidades de integración de cálculo vectorial, pero la que está buscando es en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem .

basureroDoofus

Además, es posible que encuentre que en lugar de convertir

E

$\mathbf{E}$ de rectilíneo a esférico y luego calculando

V

$V$ a partir de eso, será mucho más fácil calcular

V

$V$ en rectilíneo y luego convertirlo en esférico.

Respuestas (3)

Cálculo del potencial del campo electrónico

Hay muchas identidades de integración de cálculo vectorial, pero la que está buscando es en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem .
Además, es posible que encuentre que en lugar de convertir $\mathbf{E}$ de rectilíneo a esférico y luego calculando $V$ a partir de eso, será mucho más fácil calcular $V$ en rectilíneo y luego convertirlo en esférico.

joshfísica · Answer 1

Me parece que tienes más un problema conceptual que matemático. Para remediar esto, déjame recordarte un par de hechos.

Dado un campo eléctrico $\mathbf E$ , un potencial eléctrico $V$ para $\mathbf E$ es cualquier función escalar $V$ para cual $\begin{aligned} mi = - \nabla V \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbf E = -\nabla V \end{align}$
Se sigue que si $V$ es tal potencial, entonces podemos integrar ambos lados a lo largo de una curva $C$ para obtener $\begin{aligned} \int_{C} mi \cdot d ℓ = - \int_{C} \nabla V \cdot d ℓ \end{aligned}$ $\begin{align} \int_C\mathbf E\cdot d\boldsymbol \ell = -\int_C \nabla V\cdot d\boldsymbol \ell \end{align}$
Si $C$ es una curva con extremos $\mathbf a$ y $\mathbf b$ , entonces el teorema del gradiente nos dice que el lado derecho se puede evaluar en términos de los valores de $V$ solo en estos puntos finales; $\begin{aligned} - \int_{C} \nabla V \cdot d ℓ = V (a) - V (b) \end{aligned}$ $\begin{align} -\int_C \nabla V\cdot d\boldsymbol \ell = V(\mathbf a) - V(\mathbf b) \end{align}$
Ahora tenemos la libertad de elegir un punto de referencia en el que decidimos cuál es el valor del potencial (esto proviene del hecho de que en el paso 1, la condición de que el campo sea el gradiente del potencial no especifica únicamente el potencial) en algún punto de referencia elegido $\mathbf b = \mathbf x_0$ , y luego combinar los pasos 2 y 3 nos permite calcular el valor del potencial en cualquier otro punto $\mathbf a = \mathbf x$ . En otras palabras, combinando estos comentarios con los pasos 2 y 3 obtenemos $\begin{aligned} V (X) = V (X_{0}) + \int_{C} mi \cdot d ℓ \end{aligned}$ $\begin{align} V(\mathbf x) = V(\mathbf x_0) + \int_C \mathbf E\cdot d\boldsymbol \ell \end{align}$ dónde $C$ es cualquier camino desde $\mathbf x$ a $\mathbf x_0$ .

En resumen, el potencial eléctrico se calcula eligiendo su valor en un determinado punto de referencia y luego realizando una integral de línea a lo largo de cualquier camino hasta otro punto en el que desea determinar su valor. De esta manera, se puede obtener la forma funcional de $V$ en cualquier punto $\mathbf x$ te gusta.

Estoy de acuerdo con joshfísica. Esto parece abordar el problema que eliminé de su pregunta. El paso 4 es la gran idea en la que concentrarse. Para decirlo de otra manera, debes integrar desde tu punto de referencia (que está donde quieras) a un punto arbitrario $(x, y, z)$ o $(r,\theta,\phi)$ . La mayoría de las veces se usan variables primadas $x', y'$ , etc como la variable de integración para distinguir desde el punto final.
@BMS Gracias por eso. Creo que sus declaraciones audaces podrían transmitir el punto de #4 mejor y más sucintamente que la forma en que lo dije.

david z · Answer 2

He publicado una respuesta que describe la derivación de la energía potencial que quizás desee leer, ya que el mismo argumento se aplica al potencial eléctrico y creo que eso es lo que se está perdiendo. Básicamente, dado un campo eléctrico, el primer paso para encontrar el potencial eléctrico es elegir un punto $\vec{x}_0$ tener $V(\vec{x}_0) = 0$ . Entonces, para determinar el potencial en cualquier punto $\vec{x}$ , te integras $\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$ por cualquier camino desde $\vec{x}_0$ a $\vec{x}$ . El producto punto le brinda una función simple para integrar, por lo que no tiene que lidiar con múltiples direcciones. También tenga en cuenta que no importa qué camino elija, la respuesta será la misma, por lo que puede explotar esta libertad para elegir un camino que sea fácil de integrar.

basureroDoofus · Answer 3

En coordenadas cartesianas, tienes

V (X, y, z) = {mi}_{0} X,

$V(x,y,z)=E_0x,$ por lo que la conversión a coordenadas esféricas (usando Mathematica 9.0) produce el potencial

V (r, θ, φ)

$V(r,\theta,\varphi)$ de

TransformedField["Cartesian" -> "Spherical", E0 x, {x, y, z} -> {r, \[Theta], \[CurlyPhi]}]

{mi}_{0} r pecado (θ) porque (φ) .

$E_0 r \sin (\theta ) \cos (\varphi ).$

Me salté el paso donde conviertes $\mathbf{E}$ a $V$ en coordenadas cartesianas porque era bastante obvio lo que $V$ fue en este caso. En general, para campos más complicados se determina el potencial a través del teorema del gradiente,

V (r) = \int_{γ [r, r_{0}]} mi \cdot d r

$V(\mathbf{r})=\int_{\gamma[\mathbf{r},\mathbf{r}_0]}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}$ dónde

γ [r, r_{0}]

$\gamma[\mathbf{r},\mathbf{r}_0]$ es un camino elegido adecuadamente desde el punto de referencia

r_{0}

$\mathbf{r}_0$ a

r

$\mathbf{r}$ .

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