Integral de línea del potencial eléctrico, ¿cómo configurar?

Question

Integral de línea del potencial eléctrico, ¿cómo configurar?

JDoeDoe

Tengo un problema con la integral de línea del potencial eléctrico.

tengo un cilindro de radio $a$ y longitud $L$ con una carga superficial uniforme. En el punto $b$ el potencial es cero. Quiero calcular el potencial a $r$ , es decir $r>b$ .

la integral es $\int_\gamma \vec E \,\, \cdot d\vec l$ y el campo eléctrico es $\vec E(\vec r)=\frac{Q}{2\pi r L\epsilon_0} \hat r$ (coordenadas cilíndricas, $\hat r=\hat x\cos\phi+\hat y\sin \phi$ ).

En cálculo multivariable utilizo $\int_L \vec E \, \, \cdot d\vec r$ y parametrizar la curva $L$ entonces $\int_L \vec E \, \, \cdot d\vec r= \int_P \vec E (\vec r(t)) \, \, \cdot \frac{d\vec r(t)}{dt}dt$ .

Pero que es $d\vec l$ ?

Estoy perdido aquí, ¿cómo puedo encontrar una curva para parametrizar?

ProfRob

Es la integral de línea del campo eléctrico, no el potencial.

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Integral de línea del potencial eléctrico, ¿cómo configurar?

Es la integral de línea del campo eléctrico, no el potencial.

Josh Pilipovsky · Answer 1

Josh Pilipovsky

Quieres parametrizar como dijiste. Tu punto de partida es $r = b$ y el punto final es algo $r = r_0$ .

Una forma de parametrizar es haciendo algo como:

\vec{r} (t) = (1 - t) < b > + t < r_{0} >

$\vec{r}(t) = (1 - t) <b> + t < r_0>$ dónde

t

$t$ va de 0 a 1. El resto te lo dejo hacer!

JDoeDoe

En realidad, era este método lo que estaba buscando. Con coordenadas cartesianas, si

\vec{E} (\vec{r}) = \frac{Q}{2 π r L ϵ_{0}} (\hat{x} \cos ϕ + \hat{y} \sin ϕ)

$\vec E(\vec r)=\frac{Q}{2\pi r L\epsilon_0}( \hat x\cos\phi+\hat y\sin \phi)$ y

\vec{r} (t) = b + t (r_{0} - b)

$\vec r(t)=b+t(r_0-b)$ y

\frac{d \vec{r}}{d t} = r_{0} - b

$\frac{d\vec r}{dt}=r_0-b$ entonces

d \vec{r} = (r_{0} - b) d t

$d\vec r=(r_0-b)dt$ . Pero aquí, ¿qué es

\vec{E} (\vec{r} (t))

$\vec E(\vec r(t))$ ? Y también,

\vec{r} (t)

$\vec r(t)$ no tengo ninguna

\vec{x}

$\vec x$ - y

\vec{y}

$\vec y$ -componentes para el producto escalar?

Josh Pilipovsky

¡Buena pregunta! Cuando yo escribo

\vec{r} (t)

$\vec{r}(t)$ , realmente quiero decir

\vec{r} (t) = (1 - t) (b \hat{r} + ϕ_{0} \hat{ϕ} + z_{o} \hat{z}) + t (r_{o} \hat{r} + ϕ_{0} \hat{ϕ} + z_{0} \hat{z})

$\vec{r}(t) = (1-t)(b\hat{r} + \phi_0 \hat{\phi} + z_o \hat{z}) +t(r_o \hat{r}+\phi_0 \hat{\phi} + z_0 \hat{z})$ , para algunos

ϕ_{0}

$\phi_0$ y

z_{0}

$z_0$ , son completamente arbitrarios. ¡Recuerde que estamos usando coordenadas cilíndricas, no cartesianas! De todos modos, obtienes tu expresión para

\vec{r} (t)

$\vec{r}(t)$ , que obtuviste correctamente pero no le pusiste ninguna dirección, a saber

\vec{r} (t) = (b + t (r_{0} - b)) \hat{r} + . . .

$\vec{r} (t) =( b + t(r_0 - b))\hat{r}+...$ Ahora toma la derivada para obtener tu vector de velocidad.

\vec{E} (\vec{r} (t))

$\vec{E}(\vec{r}(t))$ es solo la expresión que obtienes cuando te conectas

\vec{r} (t)

$\vec{r}(t)$ . GL!

jerbo sammy · Answer 2

No es necesario parametrizar. El campo eléctrico es radialmente simétrico, por lo que lo integrará a lo largo de un radio. $dl$ es lo mismo que $dr$ , entonces tienes que integrar $E(r)dr$ entre límites adecuados, uno de los cuales será $r=b$ dónde $V(b)=0$ .

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jerbo sammy

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