Campo eléctrico en cualquier punto debido a una distribución de carga continua

Estoy leyendo Electricity and Magnetism de Purcell y Morin, 3.ª edición .

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ecuación ( 1.22 ) :

mi → ( X , y , z ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ   ( X ′ , y ′ , z ′ )   r ^   d X ′ , d y ′ , d z ′ r 2

En la página 22 dice:

"Una distribución de carga continua ρ   ( X ′ , y ′ , z ′ ) eso no es ningún lugar infinito no da ningún problema en absoluto. Ecuación ( 1.22 ) se puede utilizar para encontrar el campo en cualquier punto dentro de la distribución. El integrando no explota en r = 0 porque el elemento de volumen en el numerador es igual r 2 pecado ⁡ ϕ   d ϕ   d θ   d r en coordenadas esféricas y el r 2 aquí cancela el r 2 en el denominador de la Ec. ( 1.22 ) . Es decir, mientras ρ sigue siendo finito, el campo seguirá siendo finito en todas partes, incluso en el interior o en el límite de una distribución de carga".

De acuerdo con el párrafo citado anteriormente, la ecuación ( 1.22 ) se convierte en:

mi → ( X , y , z ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ   ( X ′ , y ′ , z ′ )   r ^   pecado ⁡ ϕ   d ϕ   d θ   d r

Aquí no hay una dirección particular para r ^ en r = 0 . Entonces, ¿cómo podemos decir que en coordenadas esféricas la integral no explota en r = 0 .

Tengo más preguntas sobre esto:

(2) ¿Cómo podemos estar seguros de que la integral no explota en r = 0 en otros sistemas de coordenadas?

(3) ¿Existen expresiones análogas para el campo eléctrico (independiente de r ) debido a la densidad de carga superficial y la densidad de carga lineal?

Tenga cuidado con sus coordenadas primas y no primarias y con lo que r realmente significa
r = ( X − X ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2 en todos lados
@AaronStevens: Explique en una respuesta.
Lo haré cuando tenga tiempo. Pero parece que ya tienes una buena idea. ese valor por r no es lo mismo r que aparece en el elemento de volumen esférico en general. Solo son iguales si está tratando de encontrar el campo en el origen, desde entonces X = y = z = 0
Todavía tengo que entender esto. Si estamos calculando el campo eléctrico en el origen ( 0 , 0 , 0 ) debido a una distribución de carga, ¿no serían ambos r ser igual?
Sí, eso es lo que dije en mi comentario anterior.
¿Qué haremos si necesitamos encontrar mi → en otros puntos cuando r = 0 ?

Respuestas (1)

Comencemos con la ecuación que das

mi → ( X , y , z ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ   ( X ′ , y ′ , z ′ )   r ^   d X ′ d y ′ d z ′ r 2

Nosotros para darnos cuenta de que r es la distancia entre el punto en el que estamos calculando el campo y la coordenada sobre la que estamos integrando. Entonces en coordenadas cartesianas tenemos

r 2 = ( X − X ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + ( z − z ′ ) 2
Sin embargo, nuestro elemento de volumen solo se refiere a coordenadas con prima. Por lo tanto
d X ′ d y ′ d z ′ = r ′ 2 pecado ⁡ ϕ ′ d r ′ d θ ′
dónde r ′ es la coordenada esférica para las coordenadas primas: r ′ 2 = X ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2

Entonces, como puede ver, el r ′ 2 en el elemento de volumen sólo es cancelado por el r 2 en el denominador si estamos mirando el campo en el origen donde X = y = z = 0 .

Entonces nuestra integral para nuestro campo en el origen es

mi → ( X , y , z ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ   ( r ′ , ϕ ′ , θ ′ )   r ^   pecado ⁡ ϕ ′   d ϕ ′   d θ ′   d r ′

Aquí no hay una dirección particular para  r ^  en  r = 0 . Entonces, ¿cómo podemos decir que en coordenadas esféricas la integral no explota en  r = 0 .

Debes tener en cuenta que estamos integrando sobre todas las coordenadas primas. La unidad r ^ vector es 0 en el origen (coordenadas con prima) ahora, pero el valor del integrando en un punto de la región sobre la que estamos integrando no determina la integral completa.

¿Cómo podemos estar seguros de que la integral no explota en r = 0 en otros sistemas de coordenadas?

Cambiar los sistemas de coordenadas no cambia a qué se evalúa la integral. La razón más probable por la que el libro usa este ejemplo es porque es fácil de resolver. Esto también es válido para otros ( X , y , z ) ≠ ( 0 , 0 , 0 ) coordenadas que están dentro de nuestra región de integración, ya que siempre somos libres de poner nuestro origen donde queramos.

¿Existen expresiones análogas para el campo eléctrico (independiente de r ) debido a la densidad de carga superficial y la densidad de carga lineal?

Observe cómo nada de esto depende de lo que ρ en realidad es. Por lo tanto, esta discusión es igualmente válida para cargas de superficie o de línea.

Gracias... Entiendo hasta aquí. Continúe en su tiempo libre.
@Alec He agregado más
Entendido todo excepto la última parte. En el caso de cargas superficiales o lineales, el área del elemento (en coordenadas polares) y la longitud del elemento no tendrán r 2 coeficiente. Por lo tanto, la r 2 no se cancelará. ¿Me equivoco?
@Alec ¿Quiere decir, por ejemplo, que si está integrando en un disco, entonces su elemento de área infinitesimal sería r d r d θ sin un r 2 ¿dependencia?
Sí exactamente eso.
Muchas gracias por esta valiosa información. Por favor, no olvides responder a mi último comentario en tu tiempo libre.
@Alec Una forma es mantener la integral como una integral de volumen e involucrar funciones delta de Dirac. Pero si no lo haces de esa manera, tendría que investigarlo un poco más. Creo que esto es similar a lo que dice la respuesta en Matemáticas SE, pero de manera más formal.
Todavía no he estudiado las funciones delta de Dirac. Parece que tengo que echarle un vistazo. Por cierto, la respuesta en el sitio de matemáticas está más allá de mi comprensión.
@Alec, está bien. Mi respuesta no es tan matemáticamente cuidadosa como debería ser. Técnicamente, cuando ( X , y , z ) = ( X ′ , y ′ , z ′ ) = ( 0 , 0 , 0 ) no tenemos r ′ 2 r 2 = 1 desde 0 0 ≠ 1 . Hay que tener más cuidado al tomar límites.
Así es....... ¿Puedes, si lo deseas, dar tu correo electrónico para discutir conmigo? Mi correo electrónico es metalsethroman@gmail.com
Eche un vistazo a [esta] ( math.stackexchange.com/questions/2992352/… ) pregunta si está interesado.
Campo eléctrico en cualquier punto debido a una distribución de carga continua
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