Integral de energía electrostática para cargas puntuales

Question

Integral de energía electrostática para cargas puntuales

Física
integración
singularidades
electrostática
campos eléctricos
energía potencial

Duda

La energía eléctrica almacenada en un sistema de dos cargas puntuales $Q_1$ y $Q_2$ es simple

W = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{a}

$W = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{a}$ dónde

a

$a$ es la distancia entre ellos.

Sin embargo, la energía total también se puede calcular a través de la integral de volumen de la magnitud al cuadrado de la electricidad en todo el espacio:

W = \frac{ϵ_{0}}{2} \int_{R^{3}} {mi}^{2} d V

$W = \frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{R}^3} E^2\,dV$

Suponer que $Q_1$ se asienta sobre el origen y $Q_2$ una distancia $a$ lejos en el $z$ -eje. Entonces el campo eléctrico es

\vec{mi} (X, y, z) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} [(\frac{q_{1}}{r^{3}} + \frac{q_{2}}{d^{3}}) X \hat{X} + (\frac{q_{1}}{r^{3}} + \frac{q_{2}}{d^{3}}) y \hat{y} + (\frac{q_{1} z}{r^{3}} + \frac{q_{2} (z - a)}{d^{3}}) \hat{z}]

$\vec{E}(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\left(\frac{Q_1}{r^3} + \frac{Q_2}{d^3}\right)x\hat{x} +\left(\frac{Q_1}{r^3} + \frac{Q_2}{d^3}\right)y\hat{y} + \left(\frac{Q_1z}{r^3} + \frac{Q_2\left(z-a\right)}{d^3}\right)\hat{z}\right]$ dónde

\begin{aligned} r & = \sqrt{X^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ d & = \sqrt{X^{2} + y^{2} + {(z - a)}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ d&= \sqrt{x^2+y^2+\left(z-a\right)^2} \end{align}$

Calculador $W$ a través de $\int_{\mathbb{R}^3} E^2\,dV$ parece extremadamente difícil; Mathematica, por ejemplo, parece perplejo. Sin embargo, su resultado debería ser simplemente $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{a}$ , ¿correcto? La fórmula integral aún se aplica a las cargas puntuales, ¿correcto?

Respuestas (3)

Integral de energía electrostática para cargas puntuales

qmecanico · Answer 1

Llamemos a las dos cargas eléctricas $Q$ y $q$ con campos eléctricos $|{\bf E}_Q|=\frac{k_e |Q|}{r^2_Q}$ y $|{\bf E}_q|=\frac{k_e |q|}{r^2_q}$ , respectivamente. Aquí $k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ . La energía

\begin{matrix} (0) & tu = \frac{ε_{0}}{2} ∭_{R^{3}} d^{3} r | {mi}_{q} + {mi}_{q} |^{2} = {tu}_{q} + {tu}_{q} + {tu}_{q q} \end{matrix}

$\tag{0} U~=~\frac{\varepsilon_0}{2}\iiint_{\mathbb{R}^3}\! d^3r ~|{\bf E}_Q+{\bf E}_q|^2~=~U_Q+U_q+U_{Qq}$

del campo eléctrico total contiene tres contribuciones:

La energía $U_Q$ del campo eléctrico de una carga $Q$
$\begin{matrix} (1) & {tu}_{q} = \frac{ε_{0}}{2} ∭_{r \geq d} d^{3} r | {mi}_{q} |^{2} = \frac{k_{mi} q^{2}}{2} \int_{d}^{\infty} \frac{d r}{r^{2}} = \frac{k_{mi} q^{2}}{2 d} . \end{matrix}$ $\tag{1} U_Q~=~\frac{\varepsilon_0}{2}\iiint_{r\geq\delta}\! d^3r ~|{\bf E}_Q|^2~=~ \frac{k_eQ^2}{2} \int_{\delta}^{\infty}\frac{dr}{r^2}~=~\frac{k_eQ^2}{2\delta}.$
La energía $U_q$ del campo eléctrico de una carga $q$
$\begin{matrix} (2) & {tu}_{q} = \frac{ε_{0}}{2} ∭_{r \geq d} d^{3} r | {mi}_{q} |^{2} = \frac{k_{mi} q^{2}}{2} \int_{d}^{\infty} \frac{d r}{r^{2}} = \frac{k_{mi} q^{2}}{2 d} . \end{matrix}$ $\tag{2} U_q~=~\frac{\varepsilon_0}{2}\iiint_{r\geq\delta}\! d^3r ~|{\bf E}_q|^2~=~ \frac{k_eq^2}{2} \int_{\delta}^{\infty}\frac{dr}{r^2}~=~\frac{k_eq^2}{2\delta}.$ En la ecuación (1) y (2), hemos insertado un regulador $\delta$ . Si el regulador $\delta\to 0$ se elimina la energía se vuelve infinita.
La energía del término de intercambio
$\begin{matrix} (3) & {tu}_{q q} = ε_{0} ∭_{R^{3}} d^{3} r {mi}_{q} \cdot {mi}_{q} = \frac{k_{mi} q q}{R}, \end{matrix}$ $\tag{3} U_{Qq}~=~\varepsilon_0\iiint_{\mathbb{R}^3}\! d^3r ~{\bf E}_Q\cdot {\bf E}_q~=~\frac{k_eQq}{R},$ dónde $R$ es la distancia entre las dos cargas. La integral triple (3) se puede calcular analíticamente (entre otras cosas) usando la simetría azimutal del integrando.

Si variamos lentamente la separación $R$ , solo detectaremos la variación del término de intercambio (3) (la energía de Coulomb) ya que las otras dos contribuciones (1) y (2) permanecen fijas.

larry harson · Answer 2

Las cargas puntuales plantean un problema porque su propia energía $\rightarrow \infty$ como su tamaño $\rightarrow 0$

Representa el trabajo realizado al ensamblar una carga puntual, mientras que a usted solo le interesa el trabajo realizado al mover cargas en los campos de otras cargas. Por lo tanto, debe restar del total la energía almacenada en los campos eléctricos de las cargas puntuales aisladas. Si lo haces bien, deberías terminar con una expresión para la energía que depende solo de su separación entre sí, que no explotará cuando se evalúe.

¿Puedes decir cuánta energía de campo eléctrico se almacenaría en electrones?
@AnubhavGoel Un electrón no se puede modelar de forma clásica a partir de lo que sabemos hoy; la forma moderna es usar QFT. Sin embargo, puede calcular la energía del campo eléctrico almacenada en una carga de superficie esférica, por ejemplo, calculando el trabajo realizado al ensamblarla a partir de una distribución de carga continua en el infinito, y usar eso para modelar un tipo particular de carga puntual. Pero es notoriamente difícil para un novato porque involucra la sutileza de la energía del estrés: physics.stackexchange.com/questions/52907/…

Gunnish · Answer 3

Sí, la fórmula integral se aplica a cargas puntuales y sí, tu segunda integral describe la energía. Esa versión, sin embargo, no es la forma más fácil de calcular la energía. Es una buena forma de calcular la energía cuando E = 0 en una región grande.

E Para cargas puntuales:

mi (r) = \sum_{i} \frac{q_{i}}{4 π ε_{0} R^{2}} \hat{R}

$\mathbf E (\mathbf r) = \sum_i \frac{q_i}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} \mathbf {\hat R}$

$\mathbf{\hat R}= \frac{\mathbf r - \mathbf r'}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$ dónde $\mathbf r'$ es donde esta la carga y $\mathbf r$ es el punto que estás mirando.

Gracias Gunnish. ¿Qué quieres decir con "no deberías tener el término mixto"? ¿Hay una forma preferida de calcular el campo eléctrico?
Esto es lo mismo que el $\vec{E}$ Escribí arriba, ¿no? El mío está simplemente en un sistema de coordenadas (cartesiano) para permitir la integración.

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