Campo eléctrico debido a un disco de carga. (Problema en la derivación)

Alternativamente, puedes escribir:$\lim_{\Delta r\to 0}\frac{\Delta A}{\Delta r}=\lim_{\Delta r\to 0}\frac{\pi\{(r+\Delta r)^2-r^2\}}{\Delta r}=\lim_{\Delta r\to 0}\frac{2\pi r\Delta r+\Delta r^2}{\Delta r}=2\pi r+0$

tienes que ignorar$(dr)^2$ya que es muy pequeño. ¿Por qué? Porque tomaste el límite mientras tomabas anillos infinitesimales.

Tienes toda la razón. Intenta expandir tu expresión.

Como es un infinitesimal,$dr^2 = 0$. De hecho, se define de esta manera. Cuando hacemos problemas de integración como el que describes, siempre consideramos un elemento pequeño (como un anillo de ancho$dr$) pero luego eventualmente tome el límite como$dr \to 0$. En tales situaciones$dr^2$siempre será insignificante en comparación con$dr$.

Imagina que tomas la tira delgada de ancho$dr$, córtalo (digamos en$\theta=0$) y estirarlo en línea recta. Entonces tendrías un rectángulo (casi) de ancho$dr$y longitud$2\pi r$, con área aproximada$2\pi r^2$. Como$dr$tiende a cero, puede eliminar "aproximadamente": este es un truco básico en cálculo.

dA=π[(r+dr) ² −r ² ]
=π[ r ² + 2 r dr + dr ² − r ² ]
=π[ 2 r dr + dr ² ]

Eliminamos el término dr ² y nos quedamos con dA=2πrdr