¿Cómo es RnRn\mathbb R^un grupo cociente de E(n)E(n)E(n) por SO(n)SO(n)SO(n) para cualquier nnn.

Estoy de acuerdo con el comentario de que probablemente debería ser$\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)$.$\operatorname{SO}(n)$no es el estabilizador de ningún punto en$\mathbb R^n$, por lo que no podemos encontrar una biyección para$\mathbb R^n$a través de acciones grupales. Tampoco es un subgrupo normal de$\operatorname{E}(n)$, por lo que tampoco podemos tratar el problema a través de grupos de factores. Pero la situación se ve diferente para$\operatorname{O}(n)$. Ahí tenemos dos enfoques.

Primero, considere el homomorfismo

dónde$\mathbb R^n$es el grupo aditivo. El núcleo es claramente$\operatorname{O}(n)$, y también es sobreyectiva, por lo que el primer teorema del isomorfismo establece$\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)\cong\mathbb R^n$como grupos.

Segundo,$\operatorname{O}(n)$es el estabilizador del origen bajo la acción de grupo estándar en$\mathbb R^n$, y la órbita del origen es todo de$\mathbb R^n$, entonces tenemos una biyección natural$\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)\to\mathbb R^n$.

Como dije en mi comentario, creo que el teorema correcto es:

El punto clave es que$O_n$es el conjunto de todos los movimientos rígidos que fijan el origen . Asumiré que esto es obvio.

$E(n) / O_n$es el conjunto de clases laterales del grupo$O_n$en$E(n)$, a saber, los elementos$eO_n$para$e \in E(n)$, con la operación$(e O_n)(fO_n) = (ef)O_n$. Para que esta operación esté bien definida, requerimos que si$ef^{-1}\in O_n$, entonces$eO_n = fO_n$.

Entonces deja$e$Sea cualquier movimiento rígido. Considere la transformación$e': x \to e(x) - e(0)$. Claramente,$e'(0) = 0$. Desde$e'$es una composición de movimientos rígidos, también es un movimiento rígido. Por el "hecho evidente",$e'=e$si y solo si$e \in O_n$. Como consecuencia,$eO_n = e(0)O_n$para cada$e$(donde por$e(0)$aquí me refiero a la traducción$x \to x + e(0)$). El grupo de tales$e(0)$Es claramente$(\mathbb{R}^n, +)$.

Según lo que escribes, creo que puede ser un problema de notación. Tu dices eso$\mathrm{SO}(n)$denota el grupo de todas las transformaciones ortogonales. La notación usual para el grupo de transformaciones ortogonales es$\mathrm{O}(n)$, mientras que el grupo de transformaciones ortogonales con determinante positivo se denota por$\mathrm{SO}(n)$(es el componente conexo de la identidad en$\mathrm{O}(n)$, sus elementos a veces se denominan rotaciones propias ).

Escribes que si consideramos rotaciones y reflexiones de$\mathbb R^n$forman el grupo$\mathrm{O}(n)$, y si consideramos solo las rotaciones entonces obtenemos$\mathrm{SO}(n)$. En realidad toda transformación ortogonal puede expresarse como producto de reflexiones, véase el teorema de Cartan-Dieudonné .

Ahora$E(n)$actúa sobre$\mathbb R^n$transitivamente, y el subgrupo que fija el origen es el grupo ortogonal$\mathrm{O}(n)$(reflexiones y rotaciones sobre el origen, las traslaciones no triviales claramente mueven el origen a otro lugar). De este modo$\mathbb R^n$tiene una estructura suave única que lo hace difeomorfo a$E(n)/\mathrm{O}(n)$, ver aquí .