¿Qué puedo decir sobre una multiplicación de mapas? (2)

He hecho esta pregunta aquí ¿Qué puedo decir sobre una multiplicación de mapas? , aquí está la pregunta y su respuesta:

La pregunta:

Si sé lo siguiente:

Si tengo el siguiente homomorfismo$f: \mathbb Z_{p^a} \rightarrow \Bbb Z_{p^b}$definido por la multiplicación por$n/d$dónde$n = p^b$y$d = \gcd(p^a, p^b).$

Y sé lo siguiente:

1. si$a\geq b$entonces$f$está sobre.

2. si$a \leq b$entonces$f$es 1-1.

¿Cómo puedo usar esta información para concluir algo sobre esta función: la multiplicación por$rn/d$para$r= p^s x$y$0 \leq r < d$? ¿cuándo es este mapa 1-1 y cuándo está activado?

¿Alguien podría ayudarme en eso por favor?

Su respuesta:

Permítanos manejar la generalización natural del problema que presenta. Considerar$m, n \in \mathbb{N}^{\times}$junto con la notación$\mathbb{Z}_r\colon=\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$para cualquier$r \in \mathbb{Z}$. Dejar$d\colon=(m; n)$denote el máximo común divisor de los dos números y también considere$m'\colon=\frac{m}{d}, n'=\frac{n}{d}$(las fracciones existen desde$d \neq 0$).

Arreglemos$k \in \mathbb{N}^{\times} \cap n'\mathbb{Z}$y deja$f \in \mathrm{End}_{\mathbf{Gr}}(\mathbb{Z})$Sea el endomorfismo de grupo aditivo dado por$f(r)=kr$por arbitrario$r \in \mathbb{Z}$. Eso es obvio$f[\mathbb{Z}]=f\left[\langle m \rangle\right]=\left\langle f(m)\right\rangle \leqslant n\mathbb{Z}$, desde$f(m)=mk \in mn'\mathbb{Z}=m'dn'\mathbb{Z}=m'n\mathbb{Z} \leqslant n\mathbb{Z}$, Lo que significa que$f$induce un morfismo cociente$g \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Gr}}\left(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n\right)$, descrito por$g\left(\overline{r}\right)=\widehat{f(r)}=\widehat{kr}$, dónde$\overline{\bullet}$denota clases módulo$m$respectivamente$\widehat{\bullet}$se refiere a clases módulo$n$.

En virtud de las propiedades generales de los morfismos cocientes, tenemos$\mathrm{Ker}g=f^{-1}\left[n\mathbb{Z}\right]/m\mathbb{Z}$. Es fácil ver eso$f^{-1}\left[n\mathbb{Z}\right]=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z}$, de donde$\mathrm{Ker}g=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \approx \mathbb{Z}_{\frac{m(k;n)}{n}} \ (\mathbf{Gr})$. En particular,$g$es inyectiva si y solo si$\frac{m(k; n)}{n}=1$, relación equivalentemente expresada como$m(k; n)=n \Leftrightarrow m \mid n \wedge (k; n)=\frac{n}{m}$.

En cuanto a la imagen, tenemos que$\mathrm{Im}g=\left(\mathrm{Im}f+n\mathbb{Z}\right)/n\mathbb{Z}=\left(k\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}\right)/n\mathbb{Z}=(k; n)\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\frac{n}{(k; n)}\mathbb{Z} \ (\mathbf{Gr})$. Por lo tanto,$g$es sobreyectiva si y solo si$(k; n)=1$, lo que implica$n'=1$y por lo tanto$n \mid m$. La sobreyectividad de$g$se obtiene entonces si y sólo si$n \mid m$y$(k; n)=1$.

Aquí está mi pregunta ahora:

Tengo un caso que contradice las condiciones requeridas para$g$estar siendo sobreyectiva si tomamos$m=2^4, n = 2^3$y$r = 2$ese caso no será sobreyectivo. ¿Estoy en lo correcto en ese ejemplo o no? alguien podria ayudarme en eso?