¿Todos los grupos tienen un objeto de simetría?

Si lo que permite como "objeto geométrico" es lo suficientemente amplio para coincidir con los tipos de grupos que permite, la respuesta es positiva. Primero me limitaré al caso finito, que según sus ejemplos parece ser el caso que le interesa principalmente, y luego analizaré el caso infinito.

Para un grupo finito$G$, según el teorema de Frucht (vinculado en un comentario debajo de la primera respuesta a la que se vinculó), cada grupo es isomorfo al grupo de automorfismos de un gráfico finito no dirigido . Incrustar el gráfico$(V,E)$en$\mathbb R^{|V|}$asignando biyectivamente los vértices a los vectores de base canónica y los bordes a los segmentos de línea entre los vértices sobre los que inciden. El grupo de isometría del objeto geométrico resultante es isomorfo a$G$.

Las isometrías de un espacio euclidiano son transformaciones lineales , por lo que especificar las imágenes de todos los vectores base bajo una isometría especifica la isometría. Dado que un automorfismo del gráfico especifica las imágenes de todos los vectores base, define de forma única una isometría; el objeto es invariante bajo esta isometría; y la ley de composición de estas isometrías es la ley de composición de los automorfismos. A la inversa, cada isometría del objeto corresponde a un automorfismo del gráfico. Por lo tanto, el grupo de isometrías es isomorfo al grupo de automorfismos, que es isomorfo a$G$.

Esto no funciona en el caso infinito, ya que hay grupos de cardinalidad arbitrariamente grande (por ejemplo, el grupo libre sobre un conjunto de cardinalidad arbitrariamente grande) y el grupo euclidiano solo tiene la cardinalidad del continuo. Sin embargo, el teorema de Frucht se extendió a infinitos grupos y grafos (ver esta sección del artículo de Wikipedia, con referencias), por lo que si permitimos “objetos geométricos” en potencias arbitrarias de$\mathbb R$, podemos incrustar un gráfico infinito$(E,V)$cuyo grupo de automorfismos es isomorfo a$G$en el subespacio de$\mathbb R^V$con un número finito de componentes distintos de cero asignando nuevamente los vértices a vectores de base canónica y los bordes a segmentos de línea que los conectan. Luego, una transformación lineal está nuevamente determinada de manera única por las imágenes de todos los vectores base (aquí es donde necesitamos la restricción a un número finito de componentes distintos de cero), y se deduce que el grupo de transformaciones lineales del "objeto geométrico" resultante es isomorfo a$G$.

Según tengo entendido, los objetos que está buscando son subconjuntos.$S$de un$n$espacio euclidiano -dimensional donde se considera un mapa$f: S \to S$ser una simetría de$S$si el mapa$f$conserva distancias y angulos, es decir es un movimiento rigido.

Ahora tu pregunta es: para cada grupo$G$, existe tal objeto$S$tal que$G$es el grupo de todas las simetrías de$S$? También está algo implícito en la pregunta que asumes.$G$ser finito.

Podemos dividirlo en dos preguntas:

1) Por cada$G$hay un objeto$S$tal que$G$aparece como un subgrupo de las simetrías de$S$?

2) Si la respuesta a la pregunta 1 es afirmativa y estamos mirando un objeto de este tipo, puede pintarlo de diferentes colores, dibujar caras sonrientes, tallar agujeros o colocar asas en el objeto para eliminar algunas de las simetrías. y sólo acabar con los que están en$G$?

La pregunta 2 es bastante interesante. Tomemos por ejemplo el grupo$A_5$de todas las simetrías de rotación del dodecaedro. Claramente es un subgrupo del grupo de todas las simetrías del dodecaedro, que también contiene reflexiones. ¿Podemos mutilar el dodecaedro de tal manera que solo queden las simetrías rotacionales? La respuesta es sí, pero no muy fácil de encontrar (aunque estoy seguro de que Wikipedia tiene una foto).

Sin embargo, solo diré algo sobre la pregunta 1 aquí. Notamos un par de cosas:

Si imagina ejemplos de objetos simétricos (cubos, esferas, etc.), notará que a menudo tienen algún tipo de punto central que se conserva en todas las simetrías. Hacemos un movimiento audaz hacia adelante y reducimos la pregunta a:

1': Para todo grupo finito$G$, hay un objeto$S$un punto$O$en el espacio euclidiano donde$S$vive de tal manera que toda simetría de$S$hojas$O$en su lugar y tal que$G$es un subgrupo del grupo de todas las simetrías de$S$?

Acerquémonos a la situación desde el otro lado e imaginemos que tenemos tal objeto.$S$sentado dentro de un$n$espacio euclidiano bidimensional, que también contiene un punto$O$con la propiedad especial de que toda simetría de$S$hojas$O$en su lugar.

La razón para introducir el punto$O$es que podemos traer algo de álgebra lineal. Dado el punto 'especial'$O$podemos pensar en el espacio euclidiano circundante como el espacio$\mathbb{R}^n$dónde$O$es el origen. Nociones como 'lapso' de repente tienen sentido, por lo que restringiremos nuestra atención al subespacio de$\mathbb{R}^n$atravesado por$S$. Como no dijimos qué$n$donde bien podemos suponer que este subespacio es todo$\mathbb{R}^n$.

Ahora el quid es que cada simetría de$S$se extiende a un mapa de todos$\mathbb{R}^n$a sí mismo, y dado que la simetría conserva ángulos y distancias, la ley del paralelogramo nos dice que estos mapas son lineales .

Por el contrario, tal vez recuerde del álgebra lineal que para poder hablar sobre distancias y ángulos necesita tener un producto interno$\langle . , . \rangle$en su espacio vectorial. La condición de conservar ángulos y distancias dice entonces que una simetría$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$no solo es lineal sino que también satisface$\langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle$para todos los vectores$x, y$; en otras palabras, conserva el producto interior o es una transformación lineal ortogonal .

Por lo tanto, podemos reformular la pregunta 1 en términos algebraicos más lineales:

1'': para cada grupo$G$hay un numero$n$y un grupo de transformaciones lineales ortogonales de$\mathbb{R}^n$que es isomorfo a$G$?

La respuesta es sí . Una forma sencilla es incrustar$G$en$S_n$y luego deja$S_n$guiarse por$\mathbb{R}^n$permutando los vectores base.

Ahora que nos hemos dado cuenta$G$como un subgrupo de las simetrías de todos$\mathbb{R}^n$, nos gustaría embellecer las cosas realizándolas como un subgrupo del grupo de simetrías de un subconjunto más pequeño$S$de$\mathbb{R}^n$. Esto puede hacerse de la siguiente manera. Toma un punto genérico$x$. Mira el conjunto de$|G|$puntos$g_1(x), g_2(x), ...$dónde$g_1, g_2, ...$son los elementos de$G$, realizadas como transformaciones lineales.

Terminas con un conjunto de puntos muy simétrico. Finalmente, tome el casco convexo para obtener un objeto sólido más tangible.$S$.

Aquí hay un ejercicio:

Dejar$G$ser un subgrupo del grupo simétrico$\mathfrak{S}_X$de permutaciones de un conjunto finito$X$. Demostrar que existe$k$y una relacion$R\subset X^k$tal que$G$es igual al grupo de automorfismos de$(X,R)$.

Dónde$\mathrm{Aut}(X,R)$es por definición$\{g\in \mathfrak{S}_X:\;gR=R\}$, el grupo$\mathfrak{S}_X$actuando$X^k$por$g(x_1,\dots x_k)=(gx_1,\dots,gx_k)$.

Por lo tanto, todo grupo como grupo de permutaciones de algún conjunto finito dado$X$se puede ver un grupo de simetría de alguna estructura "relacional" en$X$ mismo _

Una pista para el ejercicio: uno puede elegir$k=|X|$. requiriendo$k=1$es muy restrictivo (solo se obtienen estabilizadores de subconjuntos), e incluso$k=2$(dándose cuenta$G$como estabilizador de alguna estructura gráfica dirigida en$X$) es ciertamente demasiado restrictivo aunque no tengo un ejemplo en mente en este momento.