¿Se puede describir hoy en día el espín usando integrales de trayectoria?

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La respuesta es sí. Puede encontrar una exposición en Teoría del campo de materia condensada de Altland y Simons, a partir de la página 134 en la segunda edición. Los problemas provienen de que el giro no se puede describir con un hamiltoniano que es una función de$q$:s y su conjugado$p$:s. Sin embargo, la formulación más general de la mecánica hamiltoniana en términos de variedades simplécticas permite una descripción del espín. Altland y Simons citan los Métodos matemáticos de la mecánica clásica de Arnold como referencia para esto. Es una joya de libro poco apreciada.

Entonces, cuando construimos la integral de camino, consideramos que los caminos son caminos en el espacio de fase,$p$:arena$q$:s. Creo que para entender esto en términos geométricos tenemos que volver a lo "básico". La formulación de Lagrange tenemos coordenadas$q$y velocidades$\dot q$. Las coordenadas pueden ser coordenadas en cualquier variedad, por eso el formalismo lagrangiano es tan claro para los sistemas restringidos, por lo que las velocidades son realmente vectores tangentes. La mecánica lagrangiana se formula naturalmente en haces tangentes. Pero podemos tomar la transformada de Legendre y pasar al formalismo hamiltoniano con$p$:arena$q$:s. Esto nos lleva al paquete cotangente, por

$$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}$$ es la forma 1 que es $\partial L /\partial \dot q^i$en el campo vectorial $\dot q^i$y 0 en los otros campos de vectores de coordenadas.

Sin embargo, puede hacer toda la mecánica hamiltoniana en cualquier variedad que venga con una estructura simpléctica . Una estructura simpléctica es de 2 formas$\omega$tal que$d\omega = 0$y para cada vector$v$,$\omega(v, \cdot)$no es la forma cero 1. (Tu puedes pensar en$\omega$como una especie de métrica antisimétrica). Esto es lo que hace Arnold en su libro. El paquete cotangente viene naturalmente con tal$\omega$:

$$\omega = dp_1 \wedge dq_1 + \ldots dp_n \wedge dq_n$$ (esta forma de 2 es independiente de su elección de coordenadas $q$). El hamiltoniano es una función en $M$, por lo que en el caso particular de un paquete cotangente, puede tomarlo como una función de la $p$:arena $q$:s.

Ahora puede acoplar el momento angular orbital al vector potencial muy bien con$p$:arena$q$:s. Pero, ¿cómo hacerlo con el momento angular intrínseco, es decir, el giro? Queremos un hamiltoniano como

$$H = \mathbf B \cdot \mathbf S.$$ Dado que el espín de una partícula tiene una magnitud definida, la parte dinámica del espín es su dirección . Entonces este hamiltoniano se define en una variedad como $T^* M \times S^2$(Puse el primer factor allí porque $\mathbf B$podría, por supuesto, variar en el espacio). Por supuesto, esto se basa $S^2$teniendo un admisible $\omega$, pero puedes tomar la forma de volumen $$\omega = \sin\theta\; d\theta \wedge d \varphi$$ con $\theta, \varphi$las coordenadas habituales.

Por lo tanto, los caminos que use en su construcción de la integral de camino para el espín deben ser caminos en la esfera, y puede usar$\theta, \varphi$como coordenadas. Hay una complicación formal en el caso cuántico ya que nuestros estados también tienen fases. Esto significa que realmente deberíamos usar caminos en$SU(2)$, ya que un estado de espín arbitrario siempre se puede escribir como

$$|g\rangle := g\vert\uparrow \rangle$$ dónde $\vert\uparrow\rangle$es algún estado de referencia. Entonces, la resolución de identidad insertada para construir la integral de trayectoria debe ser $$\operatorname{id} \int_{SU(2)} \vert g \rangle \langle g\vert$$ (la integración es con respecto a un $SU(2)$-forma de volumen invariante.) Esto conduce a un término adicional, el habitual $\partial_\tau$, en la integral de trayectoria. Sin embargo, resulta que la fase es irrelevante para este término, por lo que la integral de trayectoria es realmente sobre trayectorias en la esfera .$S^2$. Puede encontrar el cálculo detallado en Altland y Simons.