¿Cómo entender por qué los campos masivos decaen exponencialmente con la distancia?

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¿Cómo entender por qué los campos masivos decaen exponencialmente con la distancia?

RC

He leído y escuchado numerosas veces que un campo vectorial en la teoría de calibre no abeliano que ha ganado masa a través del mecanismo de Higgs disminuye exponencialmente en fuerza con la distancia a medida que se propaga. Agradecería una breve explicación del enfoque y resultado y, si es posible, una referencia para un tratamiento completo.

Mi intento:

Esperaba encontrar evidencia de este comportamiento en el propagador de bosones vectoriales masivos que se puede escribir en el calibre unitario

\frac{{gramo}_{m v} - k_{m} k_{v} / {metro}^{2}}{k^{2} - {metro}^{2}} .

$\frac{g_{\mu \nu} - k_{\mu} k_{\nu}/m^2}{k^2-m^2}.$

Me gustaría que Fourier transforme esto en espacio de posición, así que integro lo siguiente término por término

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{{gramo}_{m v} - k_{m} k_{v} / {metro}^{2}}{k^{2} - {metro}^{2}} {mi}^{2 π i k_{m} X^{m}} d^{4} k .

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{g_{\mu \nu} - k_{\mu} k_{\nu}/m^2}{k^2-m^2} e^{2\pi i k_{\mu}x^{\mu}} d^4k.$

Tengo tres tipos de términos para integrar:

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{k^{2} - a^{2}} {mi}^{2 π i k X} d k

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{k}{k^{2} - a^{2}} {mi}^{2 π i k X} d k

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{2} - a^{2}} {mi}^{2 π i k X} d k

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k^2}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

Pero tengo divergencias en estas integrales y no estoy seguro de adónde ir después.

una mente curiosa

Esto no tiene nada que ver con la teoría de calibre (no abeliana), solo está tratando de calcular que la fuerza mediada por un bosón vectorial masivo tiene un potencial de Yukawa, y parece que solo pregunta quién resuelve estas integrales, que parecería fuera de tema según nuestra política de tareas .

RC

Mi interés no está específicamente en resolver las integrales, sino en el método/enfoque para mostrar el decaimiento exponencial de los componentes masivos del campo de calibre. Escribí lo que había hecho hasta ahora al buscar la respuesta a través de un enfoque para mostrar que he estado pensando en el problema, pero me gustaría entender el principio general. FWIW, esto no es tarea, estoy estudiando el tema como trasfondo y quiero entender conceptualmente el origen de la descomposición exponencial de los componentes masivos de los campos de calibre. Gracias por tu comentario.

Respuestas (1)

¿Cómo entender por qué los campos masivos decaen exponencialmente con la distancia?

Esto no tiene nada que ver con la teoría de calibre (no abeliana), solo está tratando de calcular que la fuerza mediada por un bosón vectorial masivo tiene un potencial de Yukawa, y parece que solo pregunta quién resuelve estas integrales, que parecería fuera de tema según nuestra política de tareas .
Mi interés no está específicamente en resolver las integrales, sino en el método/enfoque para mostrar el decaimiento exponencial de los componentes masivos del campo de calibre. Escribí lo que había hecho hasta ahora al buscar la respuesta a través de un enfoque para mostrar que he estado pensando en el problema, pero me gustaría entender el principio general. FWIW, esto no es tarea, estoy estudiando el tema como trasfondo y quiero entender conceptualmente el origen de la descomposición exponencial de los componentes masivos de los campos de calibre. Gracias por tu comentario.

usuario2309840 · Answer 1

Mathematica hará un trabajo bastante breve con estas integrales. O se pueden buscar en un libro de texto de teoría de campos. Yo creo, por ejemplo, que la transformada de Fourier de $1/(k^2+m^2)$ se analiza en relación con los campos escalares y la ecuación de Klein-Gordon en los primeros capítulos de Peskin y Schroeder, al menos en un entorno lorentziano.

Por qué la transformada de Fourier de este propagador está relacionada con el potencial de Yukawa en primer lugar es una pregunta diferente. Si tuviera que intentar derivarlo, calcularía el intercambio a nivel de árbol de un vector masivo en la teoría de campos. Luego trataría de averiguar qué potencial en la aproximación de Born en la mecánica cuántica no relativista conduciría a la misma dispersión. Una respuesta ligeramente diferente está aquí .

Empecemos con la primera integral.

I = \int d^{4} k \frac{{mi}^{i k \cdot X}}{k^{2} + {metro}^{2}} .

$I = \int d^4k \frac{e^{i k\cdot x}}{k^2 + m^2} \ .$ Tenga en cuenta que he volteado el signo de la

m^{2}

$m^2$ término. Esto se debe a que quiero hacer la integral en la firma euclidiana. Puedo adaptar el

k

$k$ -sistema de coordenadas tal que

x

$x$ puntos en la polar o "

z

$z$ ''-dirección. Entonces puedo dividir el factor de medida en coordenadas esféricas

d^{4} k = k^{3} d k {pecado}^{2} θ d θ d Ω_{2} .

$d^4 k = k^3 dk \, \sin^2 \theta d \theta \, d \Omega_2 \ .$ El último

d Ω_{2}

$d\Omega_2$ es la medida en un

S^{2}

$S^2$ con radio unidad. Como nada depende de estos ángulos, se integrarán para dar

4 π

$4 \pi$ . centrémonos en el

θ

$\theta$ integral. Mathematica nos dice

\int_{0}^{π} {mi}^{i k X porque θ} {pecado}^{2} θ d θ = \frac{π}{k X} j_{1} (k X) .

$\int_0^\pi e^{i k x \cos \theta} \sin^2 \theta \, d \theta = \frac{\pi}{kx} J_1(kx) \ .$ Mathematica también se encargará de la final

k

$k$ -integral

I = \frac{4 π^{2} metro}{X} k_{1} (metro X) .

$I = \frac{4 \pi^2 m}{x} K_1(m x) \ .$ Si expandimos la función Bessel-K para argumentos grandes, encontramos el comportamiento exponencial deseado

I = {mi}^{- metro X} (π^{5 / 2} {metro}^{1 / 2} {(\frac{2}{X})}^{3 / 2} + O (X^{- 2})) .

$I = e^{-m x} \left( \pi^{5/2} m^{1/2} \left(\frac{2}{x} \right)^{3/2} + O(x^{-2}) \right) \ .$

Un truco para el $k_\mu k_\nu$ integral es que se puede obtener tomando $x$ Derivadas de la primera integral. Pero esto dará un comportamiento amortiguado exponencialmente similar en general $x$ .

Gracias, esto es muy útil con las integrales. ¿Puede ser más específico sobre el apéndice o la sección de Peskin y Schroeder que analiza el propagador vectorial masivo en la representación espacial? Apreciaría poder leer una discusión completa en un texto educativo. No pude encontrar/reconocer una discusión sobre esto en los seis breves apéndices de P&S, ni en las secciones 20.1 (Mecanismo de Higgs; ejemplos no abelianos), Capítulo 21: Cuantización de teorías de calibre rotas espontáneamente 21.1: $R_{\xi}$ Manométricas, análisis no abeliano, o 21.3: Amplitudes de polarización de vacío.
No tengo P&S conmigo en este momento, y probablemente tengas razón, ahora que lo pienso, que hacen las integrales en los apéndices sin el $e^{ikx}$ factor.
¿Podría enumerar una referencia que trate en detalle (o citar un lugar en P&S) con el comportamiento exponencial del campo vectorial masivo a medida que se propaga? ¿Este comportamiento generalmente se deriva del propagador, como mostró anteriormente, o se muestra típicamente de las ecuaciones de campo en sí mismas más directamente? Gracias de antemano.
El truco estándar que conozco es pensar en un proceso de intercambio a nivel de árbol en la teoría de campos entre dos objetos cargados que involucra el bosón vectorial masivo. Entonces uno pregunta, para el proceso correspondiente en la mecánica cuántica no relativista, qué potencial produciría una dispersión similar usando la aproximación de Born. Esta comparación, en orden adelantado, se reduce a tomar una transformada de Fourier del propagador. Para un fotón, creo que este cálculo se discute en la mecánica cuántica relativista de Landau y Lifshitz. Pero agregar una masa al fotón no debería cambiar mucho las cosas.

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