Integral de contorno del propagador de Feynman

Question

Integral de contorno del propagador de Feynman

ocf001497

Ahora estoy leyendo la nota de la conferencia de David Tong sobre la teoría del campo cuántico.

Tengo algunas dudas sobre el contorno utilizado en la integral.

\int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{i}{({pag}^{0})^{2} - {pag}^{2}} {mi}^{- i pag (X - y)}

$\begin{equation} \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{i}{(p^{0})^{2} - {\bf p}^{2}} e^{-ip(x-y)} \end{equation}$ dónde

p (x - y) = p^{0} (x^{0} - y^{0}) - p \cdot (x - y)

$p(x-y) = p^{0}(x^{0}-y^{0}) - {\bf p} \cdot \left({\bf x}- {\bf y}\right)$ .

Para hacer la integral podemos elegir 4 caminos diferentes. Y el contorno que elegiremos para el propagador de Feynman es

dependiendo de si $x^{0}$ Es mas grande que $y^{0}$ .

ahora quiero sacar la integral

\int \frac{d {pag}^{0}}{2 π} \frac{i}{({pag}^{0})^{2} - {mi}_{pag}^{2}} {mi}^{- i {pag}^{0} (X^{0} - y^{0})}

$\begin{equation} \int \frac{d{p^{0}}}{2\pi} \frac{i}{(p^{0})^2 - E_{\bf p}^{2}} e^{-ip^{0}(x^{0}-y^{0})} \end{equation}$

Pero tengo algunas preguntas en el camino y la respuesta que estoy buscando.

¿Dejamos finalmente que el radio del semicírculo en la trayectoria integral $C_{1}$ y $C_{2}$ $\to 0$ ?
Para $x^{0} < y^{0}$ La integral del contorno total se puede descomponer en
$\int_{L_{1}} + \int_{C_{1}} + \int_{L_{2}} + \int_{C_{2}} + \int_{L_{3}} + \int_{C_{3}} = 2 π i R mi s (z = + {mi}_{pag})$ $\begin{equation} \int_{L_1} + \int_{C_{1}} + \int_{L_2} + \int_{C_{2}} + \int_{L_{3}} + \int_{C_{3}} = 2\pi i Res(z=+E_{\bf p}) \end{equation}$ y desde el $C_{3}$ camino se elige de tal manera que cuando hacemos el radio de $C_{3} \to \infty$ entonces $\int_{C_{3}} \to 0$ lo ignoraremos de ahora en adelante.

Ahora me pregunto cuál es el valor que queremos

(1)

\begin{aligned} \int \frac{d {pag}^{0}}{2 π} \frac{i}{({pag}^{0})^{2} - {mi}_{pag}^{2}} {mi}^{- i {pag}^{0} (X^{0} - y^{0})} & = \int_{L_{1}} + \int_{C_{1}} + \int_{L_{2}} + \int_{C_{2}} + \int_{L_{3}} \\ = 2 π i R mi s (z = + {mi}_{pag}) \end{aligned}

$\begin{align} \int \frac{d{p^{0}}}{2\pi} \frac{i}{(p^{0})^2 - E_{\bf p}^{2}} e^{-ip^{0}(x^{0}-y^{0})} & = \int_{L_1} + \int_{C_{1}} + \int_{L_2} + \int_{C_{2}} + \int_{L_{3}} \\ & = 2\pi i Res(z=+E_{\bf p}) \end{align}$ o

(2)

\begin{aligned} \int \frac{d {pag}^{0}}{2 π} \frac{i}{({pag}^{0})^{2} - {mi}_{pag}^{2}} {mi}^{- i {pag}^{0} (X^{0} - y^{0})} & = \int_{L_{1}} + \int_{L_{2}} + \int_{L_{3}} \\ = 2 π i R mi s (z = + {mi}_{pag}) - \int_{C_{1}} - \int_{C_{2}} \\ w i t h ρ \to 0 \end{aligned}

$\begin{align} \int \frac{d{p^{0}}}{2\pi} \frac{i}{(p^{0})^2 - E_{\bf p}^{2}} e^{-ip^{0}(x^{0}-y^{0})} &= \int_{L_1} + \int_{L_2} + \int_{L_{3}} \\ & = 2\pi i Res(z=+E_{\bf p}) - \int_{C_{1}} - \int_{C_{2}} \\ & \ with\ \rho \to 0 \end{align}$

La razón por la que estoy confundido es que si elegimos evaluar el (2) con $\rho \to 0$ entonces el $\int_{C_{1}}$ y $\int_{C_{2}}$ tienen algún valor distinto de cero (debido al polo simple en $E_{\bf p}$ y $-E_{\bf p}$ ) y no pueden cancelarse entre sí. Y esto hará que la respuesta que obtenga sea diferente del caso (1).

Por lo tanto, me pregunto cuál debo calcular, (1) o (2)?

Respuestas (3)

Integral de contorno del propagador de Feynman

Kostas · Answer 1

Es mucho más fácil dejar que los polos se salgan del eje real con i*epsilon de Feynman. Entonces la integración puede permanecer recta en la línea real y no necesitarás dibujar C1 y C2. Si los dibuja como lo hizo, entonces sí, deberá reducirlos y calcular las contribuciones de los semicírculos, ya que no se cancelan. Son semicírculos que van en direcciones opuestas alrededor de polos de residuos opuestos, por lo que cada uno aporta +i*pi para +2*i*pi en total, y obviamente lo mismo en ambos casos. ¡Las integrales de línea L1, L2 y L3 son cero!

A la manera de Feynman de hacerlo, y así es como la mayoría de los físicos llegan a la respuesta rápidamente sin calcular seis segmentos cada vez, solo recordamos que la respuesta es esta: el residuo de cualquier polo que esté dentro del contorno es igual a la integral que desear. Para $x0<y0$ capturas el polo en z = -Ep, yendo en sentido contrario a las agujas del reloj, y para $x0>y0$ capturas el polo en z=+Ep en el sentido de las agujas del reloj. El valor del residuo es opuesto en z=-Ep y +Ep, por lo que la respuesta es la misma.

Por cierto, un viejo libro de QFT afirma que hay siete formas no equivalentes de dar la vuelta a dos polos...

Futurólogo · Answer 2

Tienes que tomar (1) y dejar $\rho \to 0$ , porque en (2), en el límite, obtienes la integral sobre la recta real menos los dos puntos $\pm E_p$ , que no es lo que quieres (y como habrás observado las dos integrales después del residuo no desaparecen porque llevan información valiosa). En (1) el contorno es continuo (ininterrumpido) y $\rho \to 0$ es, en términos generales, una homotopía (una deformación continua de bucles/contornos) desde el contorno original (en sus imágenes) hasta la línea real completa. Esto es lo que necesita porque los valores de las integrales de funciones holomorfas (analíticas complejas) no cambian bajo homotopías, es decir, el valor de la integral permanece igual cuando $\rho \to 0$ mientras los contornos se deforman.

pepita · Answer 3

Esto también me causó mucha confusión porque yo también estaba tratando de calcular las contribuciones. $\int_{C_1}$ , $\int_{C_2}$ para determinar la integral a lo largo del eje real (como suele ser el objetivo de los ejercicios en cursos de variables complejas).

La realización clave es que el propagador $\Delta_F(x-y)$ se define (por Tong) como la integral completa

\int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{i}{({pag}^{0})^{2} - {pag}^{2}} {mi}^{- i pag (X - y)}

$\begin{equation} \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{i}{(p^{0})^{2} - {\bf p}^{2}} e^{-ip(x-y)} \end{equation}$ En particular, la integral sobre

p^{0}

$p^0$ no es el (valor principal de la) integral a lo largo del eje real (que sería (2)) sino el contorno completo, por lo tanto en el caso

x^{0} < y^{0}

$x^0<y^0$ siempre toma el valor

2 π i Res (p^{0} = + E_{p})

$2\pi i \text{Res}\left(p^0=+E_p\right)$ , por el teorema del residuo. No necesita considerar las partes sangradas del contorno en absoluto (es decir, (1) es lo que desea).

Integral de contorno del propagador de Feynman

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Respuestas (3)

Kostas

Futurólogo

pepita

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