Entendiendo la función de Euclidean Green

Considere un campo escalar acoplado a una fuente

$$(\Box - m^2)\phi(x) = -J(x)\tag{1}.$$ Entonces, la respuesta de la fuente está determinada por la función de Green $G(x-y)$, que satisface $$(\Box - m^2)G(x-y)=-\delta(x-y) \tag{2}.$$ En la firma euclidiana, la función de Green, que es la solución de la ecuación anterior, se puede escribir como la transformada de Fourier $$G(x-y)= \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac {e^{ik\cdot(x-y)}}{k^2+m^2} \tag{3}.$$ No puedo entender cómo dado (3) la solución de (1) puede expresarse como la integral $$\phi(x)=\int d^d y G(x-y)J(y)\tag{4}.$$

Mi conjetura es que uno tiene que tomar (1) y actuar de alguna manera (4) pero ahora mismo no puedo ver cómo llegar a (4). Agradecería algo de ayuda.

PS Mi principal problema es el hecho de que en la siguiente semi-demostración

$$\begin{align} (\Box-m^2)\phi &= (\Box - m^2)\int dy \, J(y) \phi_i(x-y) \\ &= \int dy \, J(y) {\color{red}{(\Box - m^2)}}\phi_i(x-y) \\ &= \int dy \, J(y) {\color{red}{\delta(x-y)}} \\ &= J(x) \end{align}$$ ¡No solo no obtengo el signo menos de (1) sino que tampoco entiendo por qué usamos la ecuación homogénea de Klein-Gordon para obtener la función delta roja en un problema donde comenzamos con la no homogénea!