Cuantificación de campo sin masa escalar real libre en 2d

Question

Cuantificación de campo sin masa escalar real libre en 2d

Física
propagador
teoría de campo
regularización
teoría cuántica de campos
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MKO

¿Hay una referencia a la literatura donde uno construye explícitamente la cuantización del campo sin masa escalar real libre en el espacio-tiempo bidimensional? En particular, ¿cómo se ve el propagador?

El caso 4d se trata en muchos libros de texto estándar en QFT, pero el caso 2d parece ser diferente debido a divergencias adicionales que no existen en dimensiones superiores.

Por ejemplo, usando la ecuación $\Box_x \langle T\phi(x)\phi(y)\rangle=\delta^{(2)}(x-y)$ y la analogía con el caso 4d (la regla de Feynman) se podría esperar que el propagador sea proporcional a

\frac{1}{{pag}^{2} + i ε} = \frac{1}{({pag}_{0})^{2} - ({pag}_{1})^{2} + i ε} .

$\frac{1}{p^2+i\varepsilon}=\frac{1}{(p_0)^2-(p_1)^2+i\varepsilon}.$ Sin embargo, en 2d esta función generalizada no está bien definida, es decir, diverge como

ε \to + 0

$\varepsilon \to +0$ (incluso su parte imaginaria diverge).

AGREGAR: Probemos la afirmación anterior de que la parte imaginaria diverge. Tenemos

I metro (\frac{1}{{pag}^{2} + i ε}) = \frac{1}{2 i} (\frac{1}{{pag}^{2} + i ε} - \frac{1}{{pag}^{2} - i ε}) = - \frac{ε}{({pag}^{2})^{2} + ε^{2}} .

$Im\left(\frac{1}{p^2+i\varepsilon}\right)=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p^2+i\varepsilon}-\frac{1}{p^2-i\varepsilon}\right)=-\frac{\varepsilon}{(p^2)^2+\varepsilon^2}.$ Dejar

ϕ (p)

$\phi(p)$ Sea una función suave no negativa que es igual a 1 en la bola unitaria y desaparece fuera de alguna bola más grande. Entonces

\begin{array}{rcl} - \int d {pag}^{2} I metro (\frac{1}{{pag}^{2} + i ε}) \cdot ϕ (pag) = \int d^{2} pag \frac{ε}{({pag}^{2})^{2} + ε^{2}} \cdot ϕ (pag) = \int d^{2} pag \frac{1}{({pag}^{2})^{2} + 1} \cdot ϕ (\sqrt{ε} pag), \end{array}

$\begin{eqnarray*} -\int dp^2Im\left(\frac{1}{p^2+i\varepsilon}\right)\cdot \phi(p)=\int d^2p \frac{\varepsilon}{(p^2)^2+\varepsilon^2}\cdot \phi(p)=\int d^2p \frac{1}{(p^2)^2+1}\cdot \phi(\sqrt{\varepsilon}p), \end{eqnarray*}$ donde la última igualdad se obtiene por el cambio de variables

p \mapsto \sqrt{ε} p

$p\mapsto \sqrt{\varepsilon}p$ . Como

ε \to + 0

$\varepsilon\to +0$ , la última integral se convierte en al menos

\begin{array}{rcl} \int d^{2} pag \frac{1}{({pag}^{2})^{2} + 1} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \int d^2p \frac{1}{(p^2)^2+1}. \end{eqnarray}$ Demostremos que esto es infinito. Hagamos cambio de variables

x = p_{0} - p^{1}, y = p_{0} + p_{1}

$x=p_0-p^1,\, y=p_0+p_1$ . Entonces la última integral es

\frac{1}{2} \int d X d y \frac{1}{(X y)^{2} + 1} = \frac{1}{2} \int d y \int \frac{d X}{(X y)^{2} + 1} = \frac{1}{2} \int d y \frac{1}{| y |} (\int \frac{d z}{z^{2} + 1}) = \infty,

$\frac{1}{2}\int dxdy\frac{1}{(xy)^2+1}=\frac{1}{2} \int dy\int \frac{dx}{(xy)^2+1}=\frac{1}{2} \int dy \frac{1}{|y|}\left(\int \frac{dz}{z^2+1}\right)=\infty,$ donde la segunda igualdad se obtiene por el cambio de variables x=z/|y|$. El resultado está probado.

SRS

¿Puede ser más específico sobre las divergencias que tiene en mente?

MKO

@SRS: Agregué un comentario al respecto. Sin embargo, creo que también hay otra forma que conduce a las divergencias, que se basa en cálculos en lugar de analogías, pero requeriría mucho más espacio para explicar eso.

prahar

Elija cualquier libro sobre teoría de cuerdas o 2d CFT (pero principalmente el primero). El primer o segundo capítulo no trivial tratará sobre esto.

prahar

En segundo lugar, no entiendo cuál es el problema con el propagador que escribiste. Está perfectamente bien (en el espacio de momento). ¿Qué es esta divergencia de la que hablas?

MKO

@Prahar: He agregado una prueba de divergencia. Sería genial tener una referencia más precisa a un libro.

Adán

@MKO: acabas de redescubrir la función delta de Dirac...

MKO

@Adam: - ??????

Adán

@MKO: física.stackexchange.com/questions /105729/…

MKO

@Adam: Ya veo. Pero no estoy seguro de que ese fuera el punto principal de mi pregunta, aunque hay cierta superposición: ambos usamos expresiones similares (que no redescubrí...).

Adán

@MKO: ¿Cuál es la pregunta? El propagador esta bien...

MKO

@Adam: No, no está bien. Permítanme repetir que el punto principal del cálculo en mi publicación es que la expresión

\frac{1}{p^{2} + i ε}

$\frac{1}{p^2+i\varepsilon}$ (como

ε \to + 0

$\varepsilon \to +0$ ) no tiene sentido en un espacio-tiempo bidimensional. Sin embargo, en dimensiones más altas tiene sentido.

unospocos4

Tienes que tomar el límite

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ después del cómputo

Respuestas (1)

Cuantificación de campo sin masa escalar real libre en 2d

¿Puede ser más específico sobre las divergencias que tiene en mente?
@SRS: Agregué un comentario al respecto. Sin embargo, creo que también hay otra forma que conduce a las divergencias, que se basa en cálculos en lugar de analogías, pero requeriría mucho más espacio para explicar eso.
Elija cualquier libro sobre teoría de cuerdas o 2d CFT (pero principalmente el primero). El primer o segundo capítulo no trivial tratará sobre esto.
En segundo lugar, no entiendo cuál es el problema con el propagador que escribiste. Está perfectamente bien (en el espacio de momento). ¿Qué es esta divergencia de la que hablas?
@Prahar: He agregado una prueba de divergencia. Sería genial tener una referencia más precisa a un libro.
@Adam: Ya veo. Pero no estoy seguro de que ese fuera el punto principal de mi pregunta, aunque hay cierta superposición: ambos usamos expresiones similares (que no redescubrí...).
@Adam: No, no está bien. Permítanme repetir que el punto principal del cálculo en mi publicación es que la expresión $\frac{1}{p^2+i\varepsilon}$ (como $\varepsilon \to +0$ ) no tiene sentido en un espacio-tiempo bidimensional. Sin embargo, en dimensiones más altas tiene sentido.
Tienes que tomar el límite $\epsilon\to 0$ después del cómputo

MKO · Answer 1

Pude encontrar una respuesta a mi pregunta en la literatura. La referencia es: AS Wightman, "Introducción a algunos aspectos de los campos cuantizados", en "Notas de conferencias, Escuela de verano de Cargese, 1964".

Al pie de la pág. 204 Wightman escribe "... no existe un objeto matemático como un campo escalar libre de masa cero en un espacio-tiempo bidimensional a menos que se abandone una de las suposiciones habituales". Luego muestra que uno puede abandonar la suposición de positividad del producto escalar en el espacio de Hilbert, y construye la cuantización del campo escalar sin masa libre en un espacio de "Hilbert" con métrica indefinida.

Permítanme repetir el argumento que explica la cita anterior. Dejar $\phi(x)$ ser un campo así. Considere la función $\langle 0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle \equiv F(x-y)$ . satisface $\Box F=0$ . Su transformada de Fourier $\tilde F$ es una distribución invariante de Lorentz que satisface $p^2\tilde F(p)=0$ y apoyado en $p^0\geq 0$ . Por eso $\tilde F$ se apoya en la unión de dos semirrectas $\{p_0=p_1, p_0\geq 0\}$ y $\{p_0=-p_1, p_0\geq 0\}$ . Además, si el producto escalar es definido positivo, entonces $\tilde F$ es una medida no negativa. Sin embargo, se puede demostrar que cualquier medida invariante de Lorentz no negativa que se apoye en las dos semirrectas anteriores debe ser proporcional a $\delta^{(2)}(p)$ . Eso significa que $F(x-y)=const$ .

Finalmente, permítanme agregar que encontré otra fuente (que no he estudiado en detalle) donde los autores aparentemente afirman que uno puede cuantificar el campo escalar sin masa libre en 2d si uno mantiene la definición positiva del producto escalar, pero abandona la suposición de que el vector de vacío tiene una norma finita. Ver Bogolyubov, Logunov, Oksak, Todorov "Principios generales de QFT", Sección 11.1.

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Adán

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