¿Cómo encontrar una métrica de un observador general?

simplemente

$$g_{ij} dx^idx^j=g_{11}dx^2+g_{22}dy^2+g_{33}dz^2=dr^2$$ entonces la métrica debería ser $$g_{ij}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$

No tengo claro el significado de las variables en la pregunta, pero en general, aquí hay un buen truco para definir una nueva coordenada que es el tiempo adecuado de un campo de observación. Etiquete el campo de 4 velocidades/observador$\mathbf u$. los observadores Tome el vector dual$\mathbf u^\flat$, y escríbalo en términos de la base dual. Por ejemplo, supongamos que en las coordenadas de Schwarzschild-Droste tenemos 4 velocidades:

$$u^\mu = \bigg(\Big(1-\frac{2M}{r}\Big)^{-1},-\sqrt\frac{2M}{r},0,0\bigg)$$ O escribiendo en términos de los vectores de base de coordenadas: $$\mathbf u = \Big(1-\frac{2M}{r}\Big)^{-1}\partial_t -\sqrt\frac{2M}{r}\partial_r$$ El (negativo del) vector dual es: $$-\mathbf u^\flat = dt +\frac{\sqrt{2M/r}}{1-2M/r}dr$$ Si podemos escribir esto como el diferencial $dT$de un escalar $T$, luego tome esto como una nueva coordenada en lugar de $t$. Comprueba que las cosas encajen bien, según el teorema de Frobenius. En nuestro ejemplo, ¡ahora tenemos las coordenadas Gullstrand-Painleve o "gota de lluvia"! Martel y Poisson (2000) utilizan este elegante enfoque.