Tensor de tensión-energía de campo electromagnético con fuentes

Para una fuente externa$j^\mu$, podríamos definir el tensor tensión-energía de la forma habitual invariante de calibre como

$$T^{\mu\nu}(x)\sim \frac{1}{\sqrt{|g|}}\,\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}(x)} \tag{1}$$ usando la acción $$S\sim\int d^4x\ \sqrt{|g|} \left(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} +A_\mu j^\mu \right).$$ con un campo de métrica genérico$g_{\mu\nu}$. (No me preocupo por los coeficientes aquí porque esos detalles no son importantes para la pregunta). Para mantener el indicador de acción invariable, la fuente externa debe satisfacer $$\partial_\mu \, \sqrt{|g|}\, j^\mu=0. \tag{2}$$ Si la corriente se debe a otro campo dinámico en lugar de imponerse externamente, entonces podemos usar el mismo enfoque al incluir ese otro campo dinámico en la acción. Por ejemplo, podríamos considerar el sistema con Lagrangiano $$L\sim F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+ (D_\mu\phi)^*(D^\mu\phi),$$ dónde$\phi$es un campo escalar y$D_\mu\sim\partial_\mu+iA_\mu$. Entonces podemos usar la ecuación (1) nuevamente para derivar el tensor de energía-esfuerzo, que ahora dependerá de ambos campos$A_\mu$y$\phi$. Este es el tensor de tensión-energía que pertenece a la ecuación de campo habitual de Einstein$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\sim T_{\mu\nu}$, y se conserva en el sentido de que$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$. Para relacionar el campo escalar$\phi$a la corriente$j^\mu$, podemos escribir la ecuación de movimiento para el campo de norma$A_\mu$como $$\frac{\delta S}{\delta A_\mu}=0,$$ que se puede escribir en la forma $$\partial_\mu F^{\mu\nu}\sim j^\nu$$ (en el caso más simple de una métrica plana). Esto define la corriente$j^\nu$en términos del campo escalar$\phi$.

También podríamos definir el tensor de tensión-energía apelando al teorema de Noether, pero luego nos queda el paso adicional de descubrir cómo hacerlo invariante de calibre sin alterar su conservación. Utilicé aquí la definición basada en métricas porque resulta invariable en cuanto al calibre automáticamente, siempre que la corriente externa, si la hay, satisfaga la ecuación (2).

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Apéndice

El enfoque descrito anteriormente utilizó una métrica arbitraria (variable). Esto es necesario para definir la variación de la acción con respecto a la métrica. Después de calcular la variación, podemos configurar la métrica para que sea lo que queramos, como la métrica de Minkowski.

Pero, ¿cuál es la justificación de esto? Si solo nos preocupamos por la versión de espacio-tiempo plano, ¿por qué deberíamos considerar temporalmente métricas arbitrarias?

Los motivos habituales para considerar el tensor tensión-energía son (1) se conserva ($\nabla_a T^{ab}=0$), y (2) aparece en la ecuación de campo de Einstein. Si no estamos haciendo relatividad general, entonces el motivo n.° 2 no se aplica, pero el motivo n.° 1 aún se aplica. Podemos pensar que el modelo de espacio plano es solo un miembro de una familia de modelos con diferentes métricas de fondo, y todo este conjunto de modelos es invariante bajo los difeomorfismos, aunque los modelos individuales (cada uno con una métrica específica) no lo son. Esta versión "colectiva" de la invariancia del difeomorfismo es suficiente para derivar la ley de conservación$\nabla_a T^{ab}=0$, siempre que comencemos con una acción que es (colectivamente) invariante bajo difeomorfismos. Esta ley de conservación se cumple con cualquier métrica de fondo, incluido el espacio-tiempo plano. La generalidad de este resultado justifica pensar en$T^{ab}$como algo que todo modelo "tiene", al igual que la generalidad del teorema de Noether justifica pensar en esas cantidades conservadas como cosas que todo modelo "tiene" (si hay suficiente simetría).

Pero entonces, ¿por qué es el$T^{ab}$obtenemos de la receta de variación métrica consistente con el$T^{ab}$obtenemos del teorema de Noether en el espacio-tiempo plano? El therem de Noether parece no estar relacionado con la receta de variación métrica. Todavía no tengo una comprensión clara de esta conexión, pero tal vez esté relacionada con el hecho de que cuando usamos el teorema de Noether para definir$T^{ab}$como cantidad conservada asociada con las simetrías del espacio-tiempo plano, todavía confiamos en una simetría matemática, no en el grupo completo de difeomorfismos, sino en parte de él. Me gustaría entender esta conexión más claramente.