¿Dónde está el error en mi prueba de que todas las derivadas son continuas?

Sé que esto no puede ser cierto debido a los contraejemplos, pero no sé dónde está el error en mi razonamiento.

Suposición: Si F ( X ) es diferenciable en R entonces la derivada F ′ ( X ) es continua en R .

Prueba defectuosa: por cada C ∈ R , usando el teorema del valor medio para F ( X ) , en el intervalo X ∈ [ C , C + h ] dónde h es positivo.

F ( C + h ) − F ( C ) h = F ′ ( ξ ( h ) )

Dónde ξ ( h ) ∈ ( C , C + h ) . Como esta ecuación se cumple para todo h > 0 . Debe mantenerse en el límite como h → 0 + .

límite h → 0 + F ( C + h ) − F ( C ) h = límite h → 0 + F ′ ( ξ ( h ) )

Pero el lado izquierdo de la ecuación es la derivada lateral derecha.

F + ′ ( C ) = límite h → 0 + F ( C + h ) − F ( C ) h = límite h → 0 + F ′ ( ξ ( h ) )

Se puede hacer lo mismo para h siendo negativa, pero debido a la diferenciabilidad en cada punto, las derivadas izquierda y derecha deben ser iguales.

F ′ ( C ) = F + ′ ( C ) = F − ′ ( C ) = límite h → 0 − F ( C + h ) − F ( C ) h = límite h → 0 − F ′ ( ξ ( h ) )

Como h → 0 + , ξ ( h ) → C . Entonces porque el límite límite h → 0 + F ′ ( ξ ( h ) ) existe y ξ ( h ) ≠ C , es igual a límite X → C + F ′ ( X )

Resulta que límite X → C + F ′ ( X ) = límite X → C − F ′ ( X ) = F ′ ( C ) entonces la función F ′ ( X ) es continuo

acabas de demostrar que límite h → 0 F ′ ( ξ ( h ) ) = F ′ ( C ) . ¿Cómo se sigue de esto que límite X → C F ′ ( X ) = F ′ ( C ) ? Por todo lo que sabes, ξ ( h ) siempre podría ser racional, por ejemplo.
La demostración sería correcta para mostrar que si existe el límite de las derivadas , ese límite es la derivada en C . Sin embargo, como mostrará el seguimiento de un contraejemplo estándar, no es necesario que exista el límite.
¿Has probado a conectar el contraejemplo en F en la prueba anterior para ver dónde salió mal?

Respuestas (1)

El problema es que no puede calcular límites a lo largo de rutas particulares como ξ ( h ) .

si pruebas eso límite norte → + ∞ F ( pag norte ) existe para algunos pag norte → X 0 , no puedes deducir que límite X → X 0 F ( X ) existe

ξ puede que ni siquiera describa un camino , ya que podría dejar de ser continuo.
Siminore. En realidad puedes tomar cualquier x_n \rightarrow x_0. Rhs: \xi (x_n, x_0) \rightarrow x_0. Las sucesiones \xi(x_n) todavía no son suficientes para que f'' sea continua en x_0 (Contraejemplos). ¿Qué piensas?
¿Dónde está el error en mi prueba de que todas las derivadas son continuas?
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