¿Cómo distinguir entre caminar sobre una esfera y caminar sobre un toro?

Consigue un perro (bidimensional) y una correa muy larga (unidimensional). Envíe a su perro a explorar, dejando que la correa juegue. Cuando el perro regrese, intente tirar de la correa. (Es decir, intenta enrollar el bucle con usted y el perro quedándose quietos). En una esfera, la correa siempre se puede tirar; en un toro, a veces no puede ser.

(Ver homotopía ).

La curvatura gaussiana es un ejemplo de curvatura intrínseca, es decir, es detectable por los "habitantes" de la superficie. El teorema de Gauss-Bonnet proporciona una conexión entre la curvatura gaussiana$K$y la característica de Euler$\chi$. Para un colector suave$M$sin límite:

Usted podría, como lo hace la gente de encuestas de ordenanzas, elegir puntos de triangulación en su superficie, medir la curvatura gaussiana en esos puntos y luego usar esto para aproximar la integral anterior.

Viaja mucho y representa un mapa del mundo. Luego intente dar un color a cada estado en su mapa, para que los vecinos tengan diferentes colores. Si necesita más de cuatro colores, está en un toroide.

Esta es solo una reformulación de la solución de @Fly by Night, ya que el número cromático depende del género.

De una forma más determinista, en un toro se puede incrustar un$K_5$, es decir, puedes encontrar$5$puntos$A_1,\ldots A_5$tal que exista$10$caminos que no se cruzan desde$A_i$a$A_j$, en una esfera no se puede.

Como alternativa, dados dos puntos distintos$A$y$B$en la superficie, puede dibujar el lugar geométrico de los puntos equidistantes (con respecto a la distancia geodésica) desde$A$y$B$. Si tal lugar geométrico tiene dos componentes conectadas, estás en un toroide.

Otra posibilidad es "peinar" la superficie. Si puedes, estás en un toroide. Y apuesto a que hay una plétora de oportunidades dadas por el teorema de Borsuk-Ulam, en general. Por ejemplo, en un toro el viento (como un campo vectorial continuo) puede soplar con una intensidad no nula en todos los puntos, en una esfera no.

O intente dibujar muchos círculos concéntricos. Si estás en un toro, tarde o temprano uno de estos círculos debe intersecarse a sí mismo.

Y gracias a Giovanni Barbarino, en una superficie tórica siempre hay un punto con gravedad cero, por lo que hay algunos problemas para construir casas cerca.

Si el mundo en el que vives puede tener alguna forma homeomorfa a una esfera o un toro, entonces no puedes probar que no es un toro sin examinar toda la superficie. La razón de esto es que la superficie podría verse casi exactamente como una esfera, excepto por un pequeño asa en algún lugar que, topológicamente, la convierte en un toro:

$\hspace{120px}$
^{(Imagen de Wikimedia Commons ; creada y liberada al dominio público por Oleg Alexandrov ).}

La ilustración de arriba muestra una esfera con tres asas (bastante grandes); esos mangos podrían reducirse a una parte arbitrariamente pequeña de la superficie sin cambiar su género topológico.

Entonces, ¿qué pasa si asumimos que ya ha examinado cada centímetro de la superficie y no ha encontrado ningún asa pequeña ? ¿Cómo podría saber si podría haber manijas grandes que no notó simplemente porque las atravesó?

Una solución sería obtener un lazo de cuerda (infinitamente) elástico, inicialmente todo enrollado en un solo lugar, y comenzar a expandirlo hacia afuera hasta que se encuentre en el otro lado del mundo. Luego siga empujando la cuerda más lejos del punto de partida y hacia el punto de contacto inicial hasta que la cuerda en movimiento haya cubierto toda la superficie.

Si, al hacerlo, puede encoger la cuerda hasta un solo punto sin hacerla retroceder nunca sobre una parte de la superficie por la que ya ha pasado antes, su superficie es una esfera; si te queda un lazo de cuerda del que no puedes deshacerte, entonces tienes un toroide (o una superficie de algún género superior).

Con suerte, la tierra se llenará de árboles (bidimensionales): tome una cuerda muy larga y comience a conectar los árboles para que cada árbol sea el vértice de un triángulo. Haz eso hasta que el mundo entero esté cubierto con triángulos de cuerda. Ahora comienza a contar los triángulos formados con la cuerda, las piezas de cuerda que conectan los árboles y los árboles que usaste para formar los triángulos. Ahora puedes calcular

Si no hay árboles, puedes usar algunos postes :)

Una forma de determinar un toro de una esfera sería tratar de peinarlo . Si todo el trigo del planeta puede inclinarse o cepillarse de tal manera que no quede un remolino , entonces el planeta es un toroide.

Fíjate en el mechón, que los toros no tienen:

Sin mechón:

Dado que vivimos en un toro y la mayoría de la gente piensa que es una esfera, probablemente sea muy difícil notar la diferencia.

No soy matemático y, de hecho, dejé la escuela, así que siéntete libre de criticarme si esto está mal, pero:

¿No puedes simplemente comenzar a caminar en una "línea recta", mientras dibujas tu camino en el suelo mientras caminas? Si nunca vuelves a donde empezaste, estás en un toroide. Si regresa al punto de partida, haga un giro de 90 grados y vuelva a caminar hasta que vuelva al punto de partida. Si tu segundo camino cruza tu primera línea una vez, estás en una esfera. Si no se cruza o se cruza más de una vez, estás en un toroide. De lo contrario, estás en una esfera.

EDITAR: Esto supone que "toroide" significa "rosquilla perfectamente simétrica", en el caso general de toroide = esfera+asas, no funcionará.

"Sr. Esfera, ¿mi mundo es un toro o una esfera?"

El desafío aquí es que algo puede ser topológicamente una esfera sin tener la geometría exacta de una esfera. Por ejemplo, si está caminando sobre la superficie de una forma de reloj de arena, topológicamente sigue siendo una esfera, pero si pasa una cuerda alrededor del 'cuello', no se tensará.

En su lugar, considere un toro como topológicamente idéntico a una gran esfera con un bucle adicional que lo "deforma" a otra parte de la esfera (un poco como una pelota de gimnasia con un mango ). Buscamos sistemáticamente bucles que no se "aprietan" y los probamos para ver si son solo protuberancias o la parte "torcida" de un toroide. Esto viene en dos partes:

1: camine en una espiral en expansión para buscar bucles: fije un extremo de una cuerda al suelo y camine en círculos, dejando un rastro de tiza en el suelo. Cada vez que completes un círculo, date un poco más de cuerda e inténtalo de nuevo.

Si en algún momento cruza su propia cuerda, entonces ha encontrado un lazo que necesita probar. Alternativamente, si termina cruzando su propia línea de tiza, entonces ha encontrado dos bucles para probar (uno para cada dirección en la tiza que sigue hasta su punto de origen).

2: pruebe cualquier bucle candidato: para esto, básicamente intenta girar en espiral hacia adentro y ver si se encuentra con usted mismo o si se 'deforma' a otro lugar en la esfera. Con tiza de diferentes colores, traza el exterior del lazo en todo su contorno. Luego, vuelva a trazar repetidamente ese borde, pero ligeramente "adentro" (es decir, lejos de su casa, hacia el área que aún no ha pisado).

Si termina girando en espiral hacia un punto, entonces ha demostrado que el área encerrada por su ciclo es topológicamente plana y, por lo tanto, consistente con estar en una esfera. Continúas buscando más bucles para probar, hasta que hayas cubierto toda la superficie de tu mundo.

Alternativamente, si encuentra alguna línea en su color de tiza original , eso significa que el bucle que encontró estaba envuelto alrededor de la 'urdimbre' de un toroide.

Este método debería encontrar todos los bucles posibles en su mundo, por lo que si los prueba todos y no encuentra una "deformación", entonces debe estar en una esfera.

Creo que las respuestas mejor calificadas responden a la pregunta, excepto que requieren una especie de conocimiento total y falta de practicidad.

¿Qué pasa si asumimos que la luz viaja de la manera habitual en la superficie, en líneas 'rectas'? Entonces, un programa de envío de haces desde un único punto fijo y la medición del posible haz devuelto podría proporcionar suficiente información.

En una esfera el haz siempre regresará y con la misma atenuación a 180 grados del emisor independientemente de la dirección elegida. Mientras que en un toro habrá un rango de valores con dos mínimos. El tiempo total de vuelo requerido podría, no lo he comprobado, hacerse arbitrariamente grande según el ángulo elegido.

Suponga que está en una esfera perfecta.

Entonces la circunferencia es la misma en todos los puntos.

Por lo tanto, si elige un punto en el objeto, camine en línea recta y mida la distancia, luego elija un nuevo punto y dirección, y mida esa distancia. En una esfera perfecta esas dos distancias serán iguales.

Otra forma sería que, como un módulo de aterrizaje plano, pudieras ver tu espalda directamente frente a ti mientras giras. La distancia a tu espalda debe ser constante.

¡Es hora de ponerse los zapatos de baile!

Átese una cuerda y ancle el otro extremo al suelo. Deje que otra persona haga lo mismo con su cuerda anclada al piso en un lugar diferente.

Ahora baila, pequeño flatlander. ¡Bailar!

Asegúrate de que cuando tu baile termine, ambos terminen en uno de los puntos de anclaje (obviamente, no pueden terminar ambos en el mismo punto de anclaje). También asegúrate de no hacer un 'baile aburrido' con lo que quiero decir que tus cuerdas deben estar adecuadamente entrelazadas de modo que no puedas tirar de ellas para que la cuerda vaya directamente desde ti hasta el suelo.

Espero que no estés cansado porque ahora tienes que...

¡Bailar de nuevo!

Haz el mismo baile que hiciste antes, esto es importante.

Si estás bailando sobre un toro, si una tercera persona intentara desenredar las cuerdas para que bajaran directamente desde tu cintura hasta el punto de anclaje, nunca podría hacerlo. Sin embargo, si estás bailando en una esfera, la tercera persona siempre podrá desenredar las cuerdas y ¡listo!

Esto es esencialmente una aplicación del hecho de que el grupo trenzado de dos cuerdas en el toro está libre de torsión, pero el grupo trenzado de dos cuerdas en la esfera es isomorfo a$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

En realidad, esto también funcionaría con más de dos personas: el grupo de trenzas de$n$cuerdas en el toro está libre de torsión para$n\geq 2$y el grupo trenzado de$n$cuerdas en la esfera tiene torsión para todos$n\geq 2$(aunque el orden de los elementos de torsión no siempre será$2$y los grupos de trenzas de la esfera no son finitos para ningún$n\geq 3$).

También podemos usar esto para diferenciar cualquier otra superficie cerrada de la esfera.

el grupo de las trenzas$B_n(T_g)$de$n$cuerdas en una superficie cerrada de género$g$está libre de torsión si y sólo si$n\geq 2$y$g\geq 1$.

Dado que estamos considerando cuerdas planetarias, recursos suficientes para marcar superficies planetarias y peinar superficies planetarias enteras, ¿qué tal algo "paralelo" y con un análogo en la realidad...

Ponga un satélite en órbita alrededor de la ciudad de Flatlander (para salir de la contaminación acústica) y mida el espectro acústico resonante del mundo o genere una fuente de banda ancha y mida los espectros de reducción de anillo resultantes. Los espectros acústicos de los toroides y los espectros acústicos de los esferoides son distinguibles. Para un análogo del mundo real, vea la discusión de los datos derivados de los datos COBE, WMAP y Planck. Ejemplo de toro . Artículo general . Limitaciones experimentales:

• Si el universo es demasiado grande, se necesitará una mayor sensibilidad del detector y/o más potencia acústica.
• Si el entorno local es demasiado ruidoso, será necesario encontrar un lugar mejor para el detector.
• Si la métrica global es demasiado irregular, el espectro puede ser demasiado complicado de entender. Esto afecta los métodos de curvatura intrínseca en otras respuestas. Un problema particularmente probable será la dispersión de los modos del mundo natural.
• Algunos de los anteriores pueden aliviarse parcialmente colocando más satélites y participando en la interferometría.
• Si es un toro, y la geometría es un cuerpo grande con un mango minúsculo, entonces se pueden requerir frecuencias muy altas. Es posible que nuevamente se necesite una mayor sensibilidad y potencia acústica. Este problema también se ha planteado en otras respuestas. Si resulta que los métodos acústicos no pueden resolver una anomalía potencialmente toroidal compacta, entonces puede ser necesario construir aceleradores de partículas en el sitio de la anomalía para obtener una resolución lo suficientemente fina. Tenga en cuenta que no existe una promesa a priori de que los procesos dentro del mundo sean capaces de resolver complejidades arbitrarias en la geometría del mundo, por lo que puede ser imposible resolver una posible anomalía.
• Si la geometría del mundo está cambiando más rápido que la velocidad del sonido, este método tiene problemas. Por supuesto, todas las soluciones de cuerda/marcado/peinado están aún más impedidas... (Uno puede pensar en usar luz, pero Planilandia está llena de niebla. Este es un componente crucial para que los habitantes de Planilandia identifiquen el rango de aquellos con los que se encuentran).

Nota: no estoy diciendo que pongas algo fuera de Flatland. Para ese método, vea mi otra respuesta.

encontré: Cómo distinguir entre la superficie de una esfera y la superficie de un toro

Tome un anillo circular plano de un diámetro inferior a Min (diámetro de la esfera, diámetro interior del toro) y colóquelo libremente una vez en cualquier lugar de la superficie dada de la esfera o el toro y verifique si toda la periferia del anillo toca exactamente la superficie desconocida, entonces es la superficie de una esfera; de lo contrario, es la superficie de un toro (suponiendo una geometría perfecta de esfera y toro).

Si logra encontrar un bucle que no se separe, sabrá que no está en una esfera.

Comenzaría asumiendo una superficie 2D plana. Luego, mida un ángulo recto lo suficientemente grande. La relación entre los tres puntos debería mostrar si la verdadera superficie es un toro o una esfera, en parte de acuerdo con la respuesta de @Fly by Night.

Con el tiempo, también se podrían medir las pequeñas fluctuaciones en la distancia y el ángulo entre los tres puntos y obtener una gran cantidad de datos gravitacionales y sismológicos sobre el mundo.

Una respuesta sencilla. (Si puede medir la distancia recorrida).

Realice algunos viajes en ambas superficies (simplemente siga recto hasta llegar al punto inicial). Si es una esfera, estarás recorriendo la misma distancia cada vez, pero no en un toro. Para ello, debe fijar un punto de partida y fijar una dirección, de lo que son capaces los flatlanders. Necesita cambiar la dirección de viaje, de cada viaje, por un ángulo "impar" (no 90 grados o su múltiplo). Supongo que haría 3 viajes en cada superficie.

EDITAR1:

Las espirales de ancho constante ortogonales a las geodésicas que se muestran en un toro son ilimitadas. Pero en una esfera están limitados entre dos paralelos que se muestran para un hemisferio. Imagine la distancia entre los dientes adyacentes de un peine con la misma distancia entre las ruedas diminutas de un eje. Un toroide peludo permite peinar a lo largo de toda su longitud, pero una esfera peluda peina sólo a lo largo de longitudes restringidas hasta el círculo rojo Fuera de los límites de los casquetes polares.

Topológicamente, dos geodésicas que emanan del mismo punto en una esfera se cruzarán en un punto antípoda, mientras que esto no es cierto en un toroide. Entonces, con un amigo (y suficiente tiempo), puedes hacer esto.