¿Problemas recreativos en la teoría de conjuntos?

Aquí hay una buena: encuentre una biyección explícita entre dos intervalos [0,1] y [0,1).

Creo que es un poco divertido ver cómo tantas cosas se derivan elegantemente de definiciones o axiomas:

• El axioma de regularidad dice que todo conjunto no vacío$x$tiene un elemento$y$que es disjunto de$x$: $$\forall x : (x\neq \emptyset \rightarrow \exists y\in x : (y\cap x= \emptyset ))$$ Concluye esto:
  • $a \notin a$
  • $a \notin b$o$b \notin a$
  • No hay secuencia infinita$a_1 \ni a_2 \ni a_3 \dots$

• Un número ordinal es un conjunto.$\alpha$eso es

  • transitiva , es decir, para todo$x \in \alpha$, tenemos$x \subseteq \alpha$, y
  • inclusión wrt set totalmente ordenada, es decir, para cada$x, y \in \alpha$tenemos$x \subseteq y$o$y \subseteq x$.

  Demuestra que para cualquier$\beta \in \alpha$,$\beta$es un número ordinal también.

  Encuentro este especialmente lindo ya que

  para mostrar que$\beta$es transitiva, necesitas el hecho de que$\alpha$se ordena con inclusión del conjunto, y viceversa.

Siempre que tenga ganas de usar el axioma de elección, primero pregúntese si podría construir una función de elección en su lugar. Esto produce problemas divertidos la mayoría de las veces.

¿Jerarquía de rápido crecimiento? Si eso no cuenta como teoría de conjuntos, puede intentar definir ordinales contables grandes, o simplemente cardinales grandes. ¡Y no se olvide de Hamkins, el rey de la teoría de conjuntos recreativa!