¿Cómo derivar la corriente conservada de la ecuación de Klein Gordon?

Considere la ecuación de KG para un campo escalar complejo$\phi(x) \in \mathbb{C}$

$$\tag{1} ( \square + m^2 ) \phi(x) = 0,$$ y su complejo conjugado $$\tag{2} ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0.$$ Multiplicando a la izquierda (1) por $\phi^*(x)$y (2) por $\phi(x)$tienes respectivamente $$\tag{3} \phi^*(x) (\square + m^2 ) \phi(x) = 0$$ y $$\tag{4} \phi(x) ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0.$$ Restando ahora (4) de (3) tienes $$\tag{5} \phi^*(x) (\square + m^2 ) \phi(x) - \phi(x) ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0$$ $$\tag{5-1} \Longrightarrow (\phi^* \square \phi - \phi \square \phi^*) + m^2 (\phi^*\phi - \phi \phi^*) = 0$$ donde en el último paso usamos el hecho de que $m \in \mathbb{R}$y por lo tanto $\phi(x) m = m \phi(x)$(y omitió el $x$argumento a favor de la pereza).

porque también$\phi(x), \phi^*(x) \in \mathbb{C}$, es decir, son solo números complejos (a diferencia de los campos de operador en QFT), tiene$\phi(x)\phi^*(x)=\phi^*(x)\phi(x)$y de ahí la conclusión:

$$\phi^* \square \phi - \phi \square \phi^* = 0 \Longleftrightarrow \partial_\mu ( \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - \phi(x) \partial^\mu \phi^*(x) ) = 0,$$ es decir $$\partial_\mu J^\mu(x) = 0, \qquad J^\mu(x) \equiv \phi^*(x)\partial^\mu\phi(x) - \phi(x)\partial^\mu \phi^*(x).$$

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Nota: estoy usando la notación

$$\square \equiv \partial^2 \equiv \partial_\mu \partial^\mu,$$ y mi $\phi(x)$es tuyo $\psi(x)$.