Prueba de una solución de la ecuación de Klein-Gordon con el vector Killing

Si$K$es un vector Killing, satisface

$$\nabla_\mu K_\nu + \nabla_\nu K_\mu = 0 \quad \implies \quad \nabla^\mu K_\mu = 0 ~.$$ Otra propiedad que necesitaremos se puede probar actuando sobre la ecuación anterior con $\nabla^\nu$. Encontramos $$\begin{align} \Box K_\mu &= - \nabla^\nu \nabla_\mu K_\nu \\ &= [ \nabla_\mu , \nabla_\nu ]K^\nu \\ &= R^\nu{}_{\lambda\mu\nu} K^\lambda \\ &= - R_{\mu\nu} K^\nu~. \end{align}$$ Ahora tenemos $$( \nabla^\mu \nabla_\mu - m^2 ) K^\nu \nabla_\nu \phi = \Box K^\nu \nabla_\nu \phi + 2 \nabla^\mu K^\nu \nabla_\mu \nabla_\nu \phi + K^\nu \nabla^\mu \nabla_\mu \nabla_\nu \phi - m^2 K^\nu \nabla_\nu \phi ~.$$ Nota $$\nabla^\mu K^\nu \nabla_\mu \nabla_\nu \phi =\frac{1}{2} ( \nabla^\mu K^\nu + \nabla^\nu K^\mu ) \nabla_\mu \nabla_\nu \phi = 0 ~,$$ y $$\begin{align} K^\nu \nabla^\mu \nabla_\mu \nabla_\nu \phi &= K^\nu \nabla^\mu \nabla_\nu \nabla_\mu \phi \\ &= K^\nu \nabla_\nu \Box \phi + K^\nu [ \nabla^\mu , \nabla_\nu ] \nabla_\mu \phi \\ &= m^2 K^\nu \nabla_\nu \phi + K^\mu R_{\mu\nu} \nabla^\mu \phi ~. \end{align}$$ Poniendo todo esto junto, encontramos $$\begin{align} ( \nabla^\mu \nabla_\mu - m^2 ) K^\nu \nabla_\nu \phi &= \Box K^\nu \nabla_\nu \phi + m^2 K^\nu \nabla_\nu \phi + K^\mu R_{\mu\nu} \nabla^\mu \phi - m^2 K^\nu \nabla_\nu \phi \\ &= 0 ~. \end{align}$$ QED.