Constantes de movimiento de un Lagrangiano

Si$q_i$denota las coordenadas generalizadas, luego tenga en cuenta que una traducción de tiempo$t \to t+\epsilon$infinitesimalmente corresponde a$q_i \to q_i + \epsilon \frac{d}{dt}q_i$y entonces$\delta q_i = \dot{q}_i$. El cambio en el Lagrangiano es,

$$\delta L = \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \ddot q_i = \frac{d}{dt}L$$

cual es la derivada total si$L$no tiene una dependencia temporal explícita. Por el teorema de Noether, tenemos una cantidad conservada,

$$Q = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i - L$$

la cual podemos reconocer como la transformada de Legendre del Lagrangiano, es decir, del Hamiltoniano y así se conserva la energía del sistema. Claramente esto se aplica a su Lagrangiano.

Como notó, su Lagrangiano también es invariante bajo$\theta \to \theta + \alpha$para cual$\alpha \delta \theta = \alpha$, y$\delta L =0$. Por lo tanto, tenemos una cantidad conservada que podemos identificar como el momento conjugado, a saber,

$$p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = \frac12 mr^2.$$

Otra forma de ver esto es que las ecuaciones de Euler-Lagrange dicen,$\frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}$y como no hay$\theta$dependencia,

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = \frac{d}{dt} p_\theta = 0.$$

En tu caso, la respuesta es sí, así de sencillo. La razón es que todas las constantes de movimiento con las que estás tratando están relacionadas con alguna simetría de traslación. La energía corresponde a las traslaciones en el tiempo, el momento angular a las rotaciones (traslaciones en$\theta$) y el momento lineal a las traslaciones.

Hay un teorema que relaciona simetrías del lagrangiano y constantes de movimiento: el teorema de Noether . Dice que para cualquier simetría hay una constante de movimiento asociada, que se puede calcular usando el lagrangiano y la transformación de simetría. Esa es una forma general de calcular constantes de movimiento.

Para lagrangianos independientes del tiempo, una simetría (una transformación$x\mapsto x(\lambda)$tal que$L(x(\lambda),\dot{x}(\lambda))=L(x,\dot{x})$, dónde$x$denota colectivamente todas las coordenadas) implica una constante de movimiento

$$\begin{align} C=&\sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}. \end{align}$$

Una derivación simple (sin demasiados detalles) es

$$\begin{align} \frac{dC}{dt}=&\sum_i\left[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}}\right)\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \frac{d}{dt}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}\right] \\ =& \sum_i\left[ \frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial\lambda}+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial\lambda}\right] = \frac{dL}{d\lambda}=0. \end{align}$$

Ahora, para el caso de rotaciones$\theta\mapsto \theta+\lambda$, nuestra cantidad conservada es$C_\theta=\partial L/\partial\dot{\theta}=mr^2/2$, el momento angular. Para un invariante lagrangiano bajo$r\mapsto r+\lambda$,$C_r$es el momento lineal conservado. Porque en nuestro caso esto no es una simetría,$C_r$no es una constante de movimiento.

Para la simetría temporal necesitaríamos una versión generalizada del teorema de Noether pero como en este caso estamos específicamente interesados ​​en la relación entre energía y tiempo, observe que la derivada de la energía es

$$\begin{align} \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}(p\dot{q}-L)= \frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q}-L\right)= \frac{dL}{dq}\dot{q}+\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}-\frac{dL}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} \end{align}$$ y por lo tanto, $H$se conserva si $L$es explícitamente independiente del tiempo.

Normalmente, la observación de coordenadas cíclicas en un langrangiano indica una cantidad conservada. Por cíclico me refiero a ignorable o básicamente no presente. Deberías ver a Goldstein por esto.

En segundo lugar, el teorema de Noether te permitirá identificar las constantes del movimiento. Sin embargo, para responder a su pregunta, sí, podemos simplemente observar cantidades conservadas mirando el Langrangiano del sistema. Puede disfrutar buscando cantidades conservadas en algunas métricas de espacio-tiempo relativistas como la de Karl Schwarzschild. Este podría ser un ejemplo divertido y educativo. Hay muchos más, por supuesto. Buena suerte.