Teorema de Noether en teoría de campos: factor jacobiano

Siguiendo mi pregunta anterior en esta publicación de Phys.SE , ¡tengo otra pregunta con respecto a la derivación por la que estoy luchando!

Considerando la variación en la densidad de Lagrange para$x'=x+\delta x$y$\phi'(x')=\phi(x)+\delta \phi (x)$.

$$\begin{equation} \mathcal L'(x')=\mathcal L'(x) +\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i=\mathcal L(x)+\underbrace{\mathcal L'(x)-\mathcal L (x)}_{\bar \delta \mathcal L(x)}+\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i \end{equation}$$ Tal que la variación en la acción está dada por, $$\begin{equation} \delta S=\int [\mathcal L(x)+\bar \delta \mathcal L(x)+\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i ]dx'-\int \mathcal L(x) dx \end{equation}$$
Entonces, ¿cómo obtenemos lo siguiente, $$\begin{equation} \delta S=\int \big[\bar \delta \mathcal L(x)+\frac{d }{d x^i}(\mathcal L\delta x^i)\big]dx \end{equation}$$

Entiendo que tiene que ver con el jacobiano de la transformación que aproximamos

$$dx'=dx(1+\partial _i\delta x^i+\dots ),$$ pero, ¿cómo se sigue esto y qué significa exactamente (de nuevo, lo siento si es obvio).