Tratando de demostrar que la corriente se conserva

Question

Tratando de demostrar que la corriente se conserva

Marion

$\newcommand{\p}{\partial}$ Estoy tratando de mostrar que la corriente $J^{\mu} = (\gamma_{\nu}\partial^{\nu} \phi - m\phi)\gamma^{\mu}\psi$ se conserva para todos los campos que satisfacen las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac:

\begin{matrix} (KG) & (\partial_{m} \partial^{m} - {metro}^{2}) ϕ = 0 \end{matrix}

$(\partial_{\mu}\partial^{\mu} - m^2)\phi=0 \tag{KG}$

\begin{matrix} (República Democrática del Congo) & (γ_{m} \partial^{m} - metro) ψ = 0 \end{matrix}

$(\gamma_{\mu}\partial^{\mu}-m)\psi=0 \tag{Drc}$ Así que empiezo tomando la derivada ya que sabemos que una corriente conservada satisface

\partial_{μ} J^{μ} = 0

$\partial_{\mu}J^{\mu}=0$ . Por conveniencia, dado que no sé cómo escribir cantidades recortadas aquí, defino

D = γ \cdot \partial

$D = \gamma \cdot \partial$ . por lo tanto tengo

\begin{aligned} \partial_{m} j^{m} & = \partial_{m} (D ϕ γ^{m} ψ) + D ϕ \partial_{m} γ^{m} ψ - metro (\partial_{m} ϕ) γ^{m} ψ - metro ϕ (\partial_{m} γ^{m} ψ) \\ = (D D ϕ) ψ + D ϕ D ψ - metro (D ϕ) ψ - metro ϕ (D ψ) \\ = (D D ϕ) ψ + D ϕ D ψ - D (metro ϕ ψ) \\ = D (D ϕ ψ) - D ϕ D ψ + D ϕ D ψ - D (metro ϕ ψ) \\ = D [(D ϕ - metro ϕ) ψ] \end{aligned}

$\begin{aligned} \p_{\mu}J^{\mu} &= \p_{\mu}(D\phi \gamma^{\mu}\psi) + D\phi \p_{\mu}\gamma^{\mu}\psi - m(\p_{\mu}\phi) \gamma^{\mu}\psi - m\phi(\p_{\mu}\gamma^{\mu}\psi) \\ &= (DD\phi)\psi + D\phi D\psi - m(D\phi) \psi - m\phi (D\psi) \\ &= (DD\phi)\psi + D\phi D\psi - D(m\phi \psi) \\ &= D(D\phi \, \psi) - D\phi D\psi +D\phi D\psi - D(m\phi \psi) \\ &= D[(D\phi-m\phi)\psi] \end{aligned}$ pero como puede ver, el escalar está en el lugar del espinor y, por lo tanto, no puedo usar (Drc). ¿Alguna idea/ayuda sobre esto?

prahar

¿Estás seguro de que no es la ecuación de Dirac sin masa?

Marion

Bueno, lo estoy tomando de un libro, así que copié la pregunta exactamente como la veo. En concreto el libro de texto SUPERGRAVITY, página 109.

prahar

Lo siento, calculé mal. No funcionaría para sin masa.

Respuestas (1)

Tratando de demostrar que la corriente se conserva

¿Estás seguro de que no es la ecuación de Dirac sin masa?
Bueno, lo estoy tomando de un libro, así que copié la pregunta exactamente como la veo. En concreto el libro de texto SUPERGRAVITY, página 109.

Gian Abre · Answer 1

\begin{aligned} \partial_{m} j^{m} & = γ_{v} (\partial_{m} \partial^{v} ϕ) γ^{m} ψ + γ_{v} \partial^{v} ϕ γ^{m} \partial_{m} ψ - metro \partial_{m} ϕ γ^{m} ψ - metro ϕ γ^{m} \partial_{m} ψ \end{aligned}

$\newcommand{\p}{\partial} \begin{aligned} \p_{\mu}J^{\mu} &= \gamma_{\nu}(\p_{\mu}\p^{\nu}\phi)\gamma^{\mu}\psi+\gamma_{\nu}\p^{\nu}\phi \gamma^{\mu}\p_{\mu}\psi-m\p_{\mu}\phi\gamma^{\mu}\psi - m\phi\gamma^{\mu}\p_{\mu}\psi\\ \end{aligned}$ Ahora la primera pieza se puede escribir como

γ_{v} (\partial_{m} \partial^{v} ϕ) γ^{m} ψ = γ_{v} γ_{m} (\partial^{m} \partial^{v} ϕ) ψ = (D D ϕ) ψ

$\gamma_{\nu}(\p_{\mu}\p^{\nu}\phi)\gamma^{\mu} \psi= \gamma_{\nu}\gamma_{\mu}(\p^{\mu}\p^{\nu}\phi)\psi=(D D\phi)\psi$ Por medio de la propiedad (usando su notación,

A = γ_{μ} a^{μ} = γ^{μ} a_{μ}

$A = \gamma_{\mu}a^{\mu}=\gamma^{\mu}a_{\mu}$ ):

A B = 2 (a \dot{} b) - B A

$AB=2(a\dot{}b)-BA$ y tu tienes

D D = 2 (\partial_{μ} \partial^{μ}) - D D

$DD = 2 (\p_{\mu}\p^{\mu}) - DD$ eso lleva a

D D = \partial_{μ} \partial^{μ}

$DD = \p_{\mu}\p^{\mu}$ .

Así que tienes:

(\partial_{m} \partial^{m} ϕ) ψ

$(\p_{\mu}\p^{\mu}\phi)\psi$ lo cual anula la última pieza de donde usas (Drc) obteniendo:

- metro ϕ metro ψ = - {metro}^{2} ϕ ψ

$-m\phi\ m\psi = -m^2\phi\psi$ y luego (KG).

queda:

\begin{aligned} = γ_{v} \partial^{v} ϕ γ^{m} \partial_{m} ψ - metro \partial_{m} ϕ γ^{m} ψ \end{aligned}

$\begin{aligned} &= \gamma_{\nu}\p^{\nu}\phi \gamma^{\mu}\p_{\mu}\psi-m\p_{\mu}\phi\gamma^{\mu}\psi\\ \end{aligned}$ Usando (Drc) en la primera parte y cambiando el índice de silencio de la sumatoria:

\begin{aligned} = γ_{v} \partial^{v} ϕ metro ψ - metro \partial_{m} ϕ γ^{m} ψ \\ = metro D ϕ ψ - metro D ϕ ψ \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} &= \gamma_{\nu}\p^{\nu}\phi m \psi-m\p_{\mu}\phi\gamma^{\mu}\psi\\ &= m D\phi \psi - m D \phi\psi\\ &=0 \end{aligned}$ No debí haber cometido errores. Siéntete libre de preguntar o corregirme.

Avíseme si funciona para usted o si necesita referencias para lo que escribí.
Las referencias serían útiles de todos modos para mí y otros lectores. ¿Serías tan amable de proporcionarlos?

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Marion

prahar

Marion

prahar

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Gian Abre

Marion

Gian Abre

Marion

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