Ecuación no lineal de Klein Gordon

Question

Ecuación no lineal de Klein Gordon

Física
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José Javier García

Para la ecuación no lineal de Klein Gordon,

{tu}_{t t} - Δ tu + F (tu) = 0,

$u_{tt}- \Delta u +f(u)=0,$

¿Cómo podría usar el teorema de Noether para probar que existe una cantidad conservada? Es decir,

(Π_{k})_{t} - d i v (j_{k}) = 0

$(\Pi _{k} )_{t} - \rm div(j_{k})=0$ para

k = 0, 1, 2, 3

$k=0,1,2,3$ , dónde

Π_{k} = \int_{R^{3}} pag (X, y, z, t) d v

$\Pi _{k} = \int _{R^{3}}p(x,y,z,t)dv$ es la densidad de cuatro impulsos.

Valter Moretti

Escriba una densidad lagrangiana que produzca esa ecuación y observe que se puede elegir para que sea invariante en las traslaciones del espacio-tiempo...

Respuestas (1)

Ecuación no lineal de Klein Gordon

Escriba una densidad lagrangiana que produzca esa ecuación y observe que se puede elegir para que sea invariante en las traslaciones del espacio-tiempo...

Valter Moretti · Answer 1

Definir $F(u):= \int_0^u f(s) ds$ , entonces las ecuaciones para el campo $u(t,\vec{x})$ se puede reescribir como

\frac{\partial^{2} tu}{\partial t^{2}} - Δ_{\vec{X}} tu + \frac{d F}{d tu} = 0 :

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\Delta_{\vec x} u + \frac{dF}{du}=0\::$ Si definiendo

L := \frac{1}{2} (- \partial_{t} tu \partial_{t} tu + \nabla tu \cdot \nabla tu) + F (tu) .

${\cal L}:= \frac{1}{2}(-\partial_t u\partial_t u + \nabla u \cdot \nabla u) + F(u)\:.$ esta densidad lagrangiana conduce a sus ecuaciones de campo.

Además, como se puede ver directamente, ${\cal L}$ es invariante bajo traslaciones espaciales, ya que no depende explícitamente de $\vec{x}$ . También es invariante bajo traducciones temporales, porque no depende explícitamente de $t$ . Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Noether obteniendo cuatro cantidades conservadas. Son las cuatro "cargas" integradas asociadas con el tensor tensión-energía, es decir, los componentes del total de cuatro impulsos.

Sé que la ecuación es invariante bajo traducción, pero ¿cuál es exactamente el $J_{k}$ son ?
Considere el tensor de energía de tensión $T^{a}_b = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \frac{\partial u}{\partial x^a}}\frac{\partial u}{\partial x^b} - \delta^a_b {\cal L}$ , que se conserva debido al teorema de Noether en vista de la invariancia traslacional. $J_a = \int_{\mathbb R^3} T^0_a d^3x$ , $a=0,1,2,3$ .
entiendo esto, gracias: D, pero a partir de esto, ¿cómo podría llegar a la ecuación final? $(\Pi_{k} )_{t}+divJ =0$
Lo siento, hay un lío con las anotaciones mías y tuyas. De ahora en adelante solo usaré las notaciones que adoptó en su pregunta. Usando $T_b^a$ como se define arriba: $\Pi_k = T^0_k$ y $j^i_k = T^i_k$ , $i=1,2,3$ . El teorema de Noether demuestra que $\sum_{a=0}^3\partial_a T^a_k=0$ . Al reformularlo usando sus notaciones, encontrará: $(\Pi_k)_t + div(j_k)=0$ . No entiendo su última identidad que escribió en su pregunta. No es coherente con las identidades anteriores.

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José Javier García

Valter Moretti

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Valter Moretti

José Javier García

Valter Moretti

José Javier García

Valter Moretti

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