¿Cómo deducir E=(3/2)kTE=(3/2)kTE=(3/2)kT?

Esto se sigue del teorema de equipartición . El teorema de equipartición establece que en equilibrio térmico, la energía promedio de cada grado de libertad (cada forma independiente en que el sistema puede moverse) es$k_B T/2$, dónde$T$es la temperatura y$k_B$(o solo$k$) se llama constante de Boltzmann . Hay tres direcciones independientes en las que se puede mover una partícula de gas (tres componentes independientes de la velocidad), por lo que la energía cinética total es$3\times k_B T/2$. Es importante darse cuenta de que esta es una fórmula estadística que solo es cierta en promedio para un gran número de partículas en equilibrio: de hecho, cada partícula individual puede tener una energía cinética diferente a esta. La constante de Boltzmann proporciona un vínculo entre los mundos microscópico y macroscópico, al relacionar las energías promedio típicas de las partículas microscópicas con las energías requeridas para cambiar la temperatura de una masa macroscópica en una cantidad medible.

La ecuación anterior resuelve la energía cinética promedio de una partícula gaseosa a una temperatura dada. k se conoce como la constante de Boltzmann,$k_B = 1.3806503 \times 10^{-23}~\mathrm{\frac{m^2kg}{s^2K}}$y es igual a la constante de los gases ideales dividida por el número de Avagadro,$\frac{R}{N_A}$.

Entonces, ¿de dónde viene la ecuación?

La respuesta corta: la ecuación anterior se deriva de la ley de los gases ideales, así como del hecho verificado experimentalmente de que 1 mol de cualquier gas en STP ocupa un volumen constante (medido en 22,4 L). Podemos usar esta relación con la masa de la partícula dada para demostrar que la energía cinética promedio es proporcional solo a la temperatura del gas.

La respuesta larga: esta página proporciona una derivación detallada de las fórmulas anteriores.

¡Espero que esto ayude!

He mirado las notas. Hay varias cosas sucediendo aquí, algunas de ellas no declaradas. También tenemos que hacer algunas suposiciones. Una es que la energía cinética promedio de una partícula que se mueve en una dirección$v$es$mv^2/2$, dónde$m$es la masa de la partícula. Esto no es demasiado difícil de probar, pero hacerlo nos llevaría muy lejos.

Otra suposición es que hay una energía promedio por partícula en un gas y que este promedio depende de la temperatura. Mediante un argumento bastante complicado se puede demostrar que la energía media por partícula es$kT/2$, dónde$T$es la temperatura absoluta en kelvin y$k$es una constante conocida como constante de Boltzmann.

Entonces, el argumento es el siguiente: la partícula puede moverse en tres direcciones independientes. Es decir, su movimiento cambiará su$x$,$y$, y$z$componentes de forma independiente. Así que tenemos que multiplicar nuestras fórmulas por tres, lo que casi nos da la fórmula que tienes arriba.

la diferencia es la$v^2$término. Eso se define como la suma de las energías promedio en las tres direcciones independientes,$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$. Dado que todas las direcciones son equivalentes e independientes, suponemos que cada una contribuye por igual a la suma. De este modo$v^2 = 3v_x^2$, donde he elegido$v_x$por conveniencia, podría haber usado cualquiera de los$v$'s.

Poner todos los bits juntos nos da la fórmula anterior.

Podemos usar la ecuación del gas ideal y la ecuación del proceso adiabático para resolver esto. (Usamos adiabático ya que el trabajo que hacemos en el gas no se transfiere térmicamente en un proceso adiabático, por lo que todo se va a la energía interna).

Encontramos el trabajo generalmente para gases con

Ahora introducimos la ley de la ecuación de los gases ideales,

Ahora conectamos esto en nuestra ecuación de energía,

Esto viene de la Mecánica Estadística. No estoy seguro de sus antecedentes, pero publicaré la derivación que conozco. Si necesita expandirse, elija un libro de Mecánica estadística como Fundamentals of Statistical and Thermal Physics de Reif.

Para ser precisos, la idea general es: considerando el espacio de fase clásico$M$dotarla de una función de densidad de probabilidad$\rho : M\to \mathbb{R}$. Esta densidad de probabilidad se entiende exactamente como se podría pensar:

es la probabilidad de que el sistema se encuentre en un microestado contenido en la región de posición y momento$A$.

La pregunta que se intenta responder entonces es: considerando que el sistema está en equilibrio térmico a temperatura$T$, qué es$\rho$?

La respuesta, cuya derivación se encuentra en el libro de Reif, es (considerando$M = \mathbb{R}^{6N}$ser$N$el número de partículas)

con$p = (p_1,\dots,p_N)$los momentos de las partículas,$q = (q_1,\dots,q_N)$sus coordenadas,$H$el hamiltoniano del sistema,$\beta = (k_B T)^{-1}$y$Z$siendo el factor de normalización llamado "función de partición" dado por

Note también que$p_i = (p_{ix},p_{iy},p_{iz})$y$q_i=(q_{ix},q_{iy},q_{iz})$.

Ahora, ¿qué es la energía? La energía es el valor medio de$H$, considerando la densidad de probabilidad$\rho$, en otras palabras:

pero esta claro que

de este modo

Ahora piensa en$N$partículas libres de la misma masa, es decir, un gas. En ese caso, el hamiltoniano viene dado por$H(p,q) = \sum \frac{p_i^2}{2m}$- es decir, la suma de sus energías cinéticas. Ahora en este caso encontrar$Z$es simple porque las integrales factorizarán:

pero cada integral sobre las coordenadas solo da el volumen$V$de la caja donde están las partículas, por lo que tenemos

las tres integrales son idénticas, por lo que calculamos solo una vez usando la bien conocida integral gaussiana

Ahora calcula$E$

Esto es exactamente$E = \dfrac{3N}{2} \beta^{-1}$si no

que para una sola partícula da su resultado.

En el estudio molecular de un recipiente cerrado, en primer lugar, al usar la primera ecuación de movimiento, obtenemos "a = Vf / t" como inicialmente Vi = 0, luego podemos poner la fórmula Force para obtener F = m (vf / t) Ahora usando la segunda equ, de movimiento obtenemos "d=1/2at^2" como Vi=0

Ahora ingrese la fórmula Trabajo realizado para tener "W = 1/2 mVf ^ 2", ya que el trabajo realizado es el mismo que KE, por lo que E (k, E) = 1/2 mVf ^ 2 ahora usando la relación del centro de masa (en términos de epresión de velocidad ) m1V1+m2V2=(m1+m2)Vcm , donde Vcm es la velocidad del centro de masa de dos sistemas de cuerpo m1 y m2 ... Como sabemos que Momentum(P)= mV2 entonces tenemos P1+P2=(m1 +m2)Vcm como m1=m2=m (ya que las moléculas tienen la misma masa), de acuerdo con la ley de conservación del momento P=P1+P2 P=2mVcm, consideramos solo el movimiento del eje X, por lo que podemos escribir P=2mVx COMO la fuerza es relación de cantidad de movimiento y tiempo
entonces, de la relación anterior, podemos decir F = 2mVx / t .... (alfa) podemos obtener t = 2L / Vx ...... (Beta) considerando que la molécula cubre la distancia 2L en el tiempo t con velocidad Vx ... .. Poniendo (Beta) en (alfa) F=mVx/2L/Vx .....=> F=mVx^2/L Ahora la expresión de velocidad promedio total sería V^2=Vx^2+Vy^2+ Vz ^ 2 Deje que la partícula tenga la misma velocidad en todos los ejes, por lo que V ^ 2 = Vx ^ 2 + Vx ^ 2 + Vx ^ 2 O podemos decir V ^ 2 = 3Vx ^ 2, a partir de este equ podemos obtener Vx ^ 2 = 1 /3V^2 y esta ecuación para N número de partículas se puede escribir como F=mNV^2/3AL .... (GaMMA) Donde A es el área de fuerza del recipiente de gas Para el volumen de la cámara cerrada en la que se encuentran las moléculas (ya que es una cámara rectangular de tipo Cubo), por lo que su VOLUMEN debe ser Área * Longitud, por lo que Vp = (mNV ^ 2) / 3 Donde obtuvimos Vp de AL de la ecuación (GaMAA) Ahora multiplicando y dividiendo por 2 obtenemos PV = (2/3)(N)(1/2mV^2) .'. Como KE = 1/2mV^2 entonces PV=(2/3)(N)K. E Sabemos por la ecuación de los gases ideales .'. PV=nRT nRT=(2/3)(N)KE De esto podemos obtener KE=3/2nRT/N Por unidad de mol del gas n=1 y según BOLTZMAN R/N=K entonces KE= (3/ 2) KT

El "3" proviene de la entropía (y por lo tanto$k$) dependiendo de 3 posibles direcciones diferentes para el impulso que contiene la energía.

Quizas el$1/2$tiene algo que ver con el promedio de entropía al elevar el$v$de$0$a$v$. O tratando de obtener un impulso$mv$de la energía a través de$mv (v/2)$.

$k$es un factor de conversión de temperatura a energía. Específicamente, es la pendiente de la temperatura sobre la energía térmica eliminada a medida que avanza desde$Q$energía para$0$(o$T$a$0$).