¿Cuántos grados de libertad tiene un resorte?

Actualmente estoy aprendiendo sobre termodinámica y capacidades de calor. Nos dijeron que las capacidades caloríficas molares teóricas de todos los sólidos deberían ser 3 R . Me dijeron que esto se debe a que hay 6 grados de libertad vibratorios diferentes para cada átomo en un sólido. Dado que estos átomos están atascados en su lugar, no pueden rotar ni trasladarse, así que traté de averiguar exactamente cómo son estos 6 grados de libertad. Aquí están mis pensamientos:

En primer lugar, me gusta pensar en los grados de libertad como lugares a los que puede ir la energía. Por ejemplo, en un gas, la energía se puede transferir a una partícula como energía cinética. Esta energía cinética puede hacer que se traslade en cada eje y gire en cada eje (suponiendo que sea poliatómica no lineal). Por supuesto, cada partícula también tiene una energía potencial asociada (a otro lugar donde puede ir la energía), pero podemos ignorarla porque la energía potencial promedio del sistema no cambiará (para un volumen fijo).

Ahora tomemos un sólido hipotético que tiene solo 1 átomo de espesor. Su red se verá así:ingrese la descripción de la imagen aquí

Mi maestro diría que esto tiene 4 grados de libertad porque cada átomo en el sólido puede vibrar hacia arriba/abajo o hacia la izquierda/derecha. Pero usando mi definición de grados de libertad, diría que solo debería haber 2 grados de libertad. La energía potencial asociada con la dirección x y la energía potencial asociada con la dirección y. La razón por la que estoy descontando la energía cinética es porque cuando mi k i norte mi t i C = 0 :

mi metro mi C h a norte i C a yo = mi pag o t mi norte t i a yo

Por lo tanto, podemos definir la cantidad de energía agregada simplemente por lo que le hace a la energía potencial máxima. Es por eso que creo que un resorte normal solo tiene un grado de libertad (su energía potencial). Entonces, ¿por qué el sistema representado arriba tiene 4 grados de libertad?

Cada cuenta tiene cuatro grados de libertad, porque hay dos resortes para cada cuenta (es decir, hay el doble de resortes que cuentas) y el potencial de cada resorte contribuye con un grado de libertad, y luego las cuentas tienen dos grados de traslación. libertad porque están en dos dimensiones. Por tanto, por cada bolita que hay, el sistema tiene cuatro grados de libertad. ¿Puedes explicar mejor por qué no entiendes esta explicación?
@NowIGetToLearnWhatAHeadIs ¿Funciona para mí, como respuesta y como comentario?
@ Countto10 Creo que debe haber algún otro punto de confusión. Si mi comentario es realmente todo lo que Nova necesitaba ver, entonces esto es realmente un duplicado de physics.stackexchange.com/q/80711/23785
Cada cuenta tiene una ubicación y una velocidad, y ambas son bidimensionales. La ubicación te da la energía potencial, mientras que la velocidad la energía cinética. ¿Cómo podría haber algo más que 4 grados de libertad por cuenta?
@hyportnex Debido a que la energía mecánica se conserva para un resorte, puedo tratar una entrada de energía en un sistema como una entrada de energía en la energía mecánica presente en el resorte.
No puedo hacer lo mismo con los gases. Dos pistones pueden tener moléculas de gas con la misma energía cinética promedio, pero no con la misma energía potencial promedio. Pero la única diferencia entre dos sólidos a diferentes temperaturas es la cantidad de energía mecánica contenida en sus "muelles".
@Nova No hay una manera fácil de resolver esta pregunta sin profundizar en las matemáticas de los modelos en un nivel en el que están en juego el espacio de fase hamiltoniano, el teorema de Liouville y la hipótesis ergódica.

Respuestas (1)

Deberíamos comenzar reconociendo que "grado de libertad" tiene al menos dos significados en términos de física e ingeniería. Uno, utilizado en el diseño mecánico, es esencialmente equivalente a una coordenada mecánica generalizada para el sistema. Otro, el significado más común en física térmica, es la dimensionalidad del espacio de fase del sistema . Ninguna de estas cosas es exactamente lo que debería contar a los efectos del teorema de equipartición.

Lo que cuenta el teorema de equipartición son las contribuciones al hamiltoniano que son cuadráticas en una coordenada generalizada o un momento generalizado.

Un resorte 1D tiene la libertad de moverse en una sola dirección (es decir, un grado de libertad mecánico usando la definición de ingeniería), pero tiene un espacio de fase bidimensional ( X , pag X ) (es decir, dos grados de libertad en un uso común pero descuidado para mi oído), y el hamiltoniano es cuadrático en ambos parámetros

H = 1 2 k X 2 + pag X 2 2 metro ,
por lo que tiene dos aportes a efectos de equipartición.

En un modelo sólido como el que exhibe cada átomo (en un D espacio dimensional) puede asociarse ingenuamente con D grados de libertad mecánicos, 2 D parámetros en el espacio de fase, y 2 D Modos cuadráticos en el hamiltoniano.

Como nota al margen, no es necesariamente cierto que cada grado de libertad mecánico resulte en dos contribuciones al teorema de equipartición. El contraejemplo más útil es el gas ideal.

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