Algunas preguntas sencillas sobre los números de Grassmann: relaciones de conmutación y derivadas

Estoy tratando de aprender sobre los números de Grassmann del libro "Teoría del campo de materia condensada" de Altland y Simons, pero actualmente estoy encontrando algunas dificultades. Tengo varias preguntas más pequeñas que están conectadas.

  • ¿Un número de Grassmann η i y un operador de creación a j † ¿Conmutación o anticonmutación? Altland y Simons solo definieron [ η i , a j ] + = 0 . Sugeriría tomar el conjugado de esto y llegar a una ecuación para el operador de creación, pero los autores se negaron a definir una conjugación para los números de Grassmann, ya que puede generar algunas dificultades.

  • Los autores definieron las funciones de los números de Grassmann por su desarrollo de Taylor: F ( η ) = F ( 0 ) + F ′ ( 0 ) η . pero como saco la ecuacion mi − η a † = 1 − η a † que encontré en varias notas? el derivado de mi − X a † es − a † mi − X a † . Entonces supongo que mi − η a † = 1 − a † η . Una solución sería que un operador de creación conmuta con un número de Grassmann, pero no estoy seguro de si esto se cumple.

  • ¿Alguien puede recomendar una buena introducción a los números de Grassmann y su uso en la teoría de campos que no profundice demasiado en las matemáticas sino que se concentre en realizar cálculos?

Respuestas (1)

Comentarios a la pregunta (v2):

  1. Cuando trabajamos con superobjetos (tanto supernúmeros como superoperadores), normalmente asumimos que tienen una paridad de Grassmann definida.

  2. La paridad de Grassmann | A ^ | de un superoperador Grassmann-par (Grassmann-impar) es 0 (1) módulo 2, respectivamente.

  3. un supernúmero z puede verse como un caso especial de un superoperador A ^ de la misma manera, un número ordinario puede verse como un operador.

  4. El superconmutador de dos superoperadores A ^ y B ^ Se define como

    [ A ^ , B ^ ]   :=   A ^ B ^ − ( − 1 ) | A ^ | | B ^ | B ^ A ^ .

  5. Decimos que dos superoperadores A ^ y B ^ superconmutar si su superconmutador se desvanece [ A ^ , B ^ ] = 0 .

  6. un supernúmero z superconmuta con cualquier superoperador A ^ eso no depende de z .

  7. El punto 6 implica que un supernúmero impar de Grassmann θ y un superoperador tipo Grassmann A ^ (eso no depende de θ ) tienen una expansión de Taylor truncada:

    (1) Exp ⁡ ( θ A ^ ) = 1 + θ A ^ + 1 2 ( θ A ^ ) 2 + … = 1 + θ A ^ .

  8. Una superfunción

    (2) F ( θ )   =   θ a + b   =   ( − 1 ) | a | a θ + b
    en un supernúmero impar de Grassmann θ necesariamente debe ser una función afín .

  9. La diferenciación izquierda se define por

    (3) F ′ ( θ )   :=   d d θ F ( θ )   :=   a   =   F ′ ( 0 ) .
    La palabra que queda aquí significa que el operador de diferenciación d d θ actúa sobre la función (2) desde la izquierda.

  10. También se puede definir una diferenciación correcta correspondiente

    (4) d R F ( θ ) d θ   :=   ( − 1 ) | a | a   =   − ( − 1 ) | F | F ′ ( θ ) ,
    pero el factor de signo es menos natural para trabajar en cálculos prácticos.

  11. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación (2) como una expansión de Taylor 1

    (5) F ( θ )   =   F ( 0 ) + θ F ′ ( 0 )   =   F ( 0 ) − ( − 1 ) | F | F ′ ( 0 ) θ .

  12. Para referencias y más información, consulte también esta y esta publicación de Phys.SE.

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1 Tenga en cuenta que Altland y Simons (A&S), Condensed Matter Field Theory, (2010) p.162, tiene un error de signo crucial en su análogo de la fórmula (5). Está claro a partir de una fórmula en el texto entre las ecs. (4.14-15), que A&S están usando la diferenciación por la izquierda (en oposición a la derecha).

Ok, supongo que los números de Grassmann η son supernúmeros con paridad 1 y los operadores de creación/aniquilación (fermiónicos) son superoperadores con paridad 1. Entonces, de acuerdo con 5) un número de Grassmann y un operador de creación superconmutan (en este caso, anticonmutan). Puedo ver cómo llegar a la ecuación Exp ⁡ ( − η a † ) = 1 − η a † con tu expansión de Taylor (porque − η también es un número de Grassmann), pero me gustaría usar la definición de Altland & Simons: F ( η ) = F ( 0 ) + F ′ ( 0 ) η con F ( η ) = Exp ⁡ ( − η a † ) .
Muchas gracias por su detallada respuesta. Sí, me di cuenta de que A&S tiene muchos errores tipográficos y errores en sus fórmulas.
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