Prueba de que la acción efectiva/adecuada es la funcional generadora de las funciones de correlación irreducibles de una partícula (1PI)

Weinberg, QFT 2, en la Sección 16.1 en una nota al pie 2 se refiere a Coleman, Aspects of Symmetry, p. 135-6, que presenta la$\hbar$/expansión de bucle. Véanse también las referencias. 3 y 4 para una idea similar. En esta respuesta proporcionamos un argumento no inductivo en este sentido. Una buena característica de este argumento es que no tenemos que tratar explícitamente con la molesta combinatoria y los factores de simetría de los diagramas de Feynman individuales. Esto ya está cableado en el formalismo.

A) Primero recordemos algunos hechos básicos de la teoría de campos. El clásico (=$\hbar$-independiente) acción

$$S[\phi]~\equiv~\underbrace{\frac{1}{2}\phi^k (S_2)_{k\ell}\phi^{\ell}}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{S_{\neq 2}[\phi]}_{\text{the rest}}, \tag{A1}$$ es el generador funcional para vértices desnudos (y propagador desnudo inverso$(S_2)_{k\ell}$).

La función de partición/integral de trayectoria es

$$\begin{align} Z[J] ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \underbrace{\left(S[\phi]+J_k \phi^k\right)}_{=:~S_J[\phi]}\right\}\tag{A2} \cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (S_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{\frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}\tag{A3}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{WKB}\cr\text{approx.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 S[\phi[J]]}{\delta \phi^m \delta \phi^n}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi[J]]+J_k \phi^k[J]\right)\right\}\cr &\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \tag{A4}\end{align}$$ en la fase estacionaria/aproximación WKB$\hbar\to 0$. En la ec. (A4) $$J_k~\approx~-\frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi^k} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi^k~\approx~\phi^k[J] \tag{A5}$$ son las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) para el campo cuántico$\phi^k$.

Observe en la expansión del diagrama (A3) cómo un vértice desnudo viene con$\hbar$-peso$=-1$; un propagador desnudo interno$(S_2^{-1})^{k\ell}$viene con$\hbar$-peso$=+1$; y una pata externa viene con$\hbar$-peso$=0$.

El teorema del cúmulo vinculado establece que la función generadora para diagramas conectados es

$$W_c[J]~=~\frac{\hbar}{i}\ln Z[J], \tag{A6}$$ cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Tenga en cuenta que las burbujas de vacío conectadas$W_c[J\!=\!0]=\frac{\hbar}{i}\ln Z[J\!=\!0]$por definición está correlacionada con la normalización de la integral de trayectoria y, por lo tanto, no es físicamente relevante. (Permitimos que la posibilidad de que no sea cero sea lo más general posible).

A continuación recuerda el$\hbar$/bucle-expansión

$$L~=~I-V+1, \tag{A7}$$ cf. mi respuesta Phys.SE aquí . Él$\hbar$/loop-expansion junto con eqs. (A4) y (A6) implican que la funcional generatriz $$W_{c}^{\rm tree}[J]~\stackrel{(A4)+(A6)}{=}~S[\phi] + J_i \phi^i \tag{A8}$$ para diagramas de árbol conectados es la transformación de Legendre de la acción clásica. Tenga en cuenta que las ecuaciones EL. (A5) son compatibles con esto.

ecuaciones (A3) y (A6) rendimiento

$$\begin{align} &W^{\rm tree}_c[J]~\stackrel{(A3)+(A6)}{=}\cr \lim_{\hbar\to 0} \frac{\hbar}{i}& \ln\left( \exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \exp\left\{- \frac{i}{2\hbar} J_k (S_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\} \right). \end{align}\tag{A9}$$ Observe cómo la ec. (A9) solo se refiere a objetos en las ecs. (A1) y (A8), y por lo tanto puede verse como una consecuencia de ellos solos.

ecuación (A9) se da cuenta del hecho de que dado un conjunto finito arbitrario de inserciones de fuentes externas, entonces (la suma de todos los posibles) diagramas de árbol conectados es (la suma de todos los posibles) árboles de propagadores desnudos$(S_2^{-1})^{k\ell}$y vértices desnudos.

Tenga en cuenta que los factores de raíz cuadrada de un ciclo en las ecs. (A3) y (A4) no afectan la fórmula de bucle cero/árbol (A9) y (A8), respectivamente.

$\downarrow$Tabla 1: Similitud estructural entre las Secciones A y B.

$$\begin{array}{ccc} A &\leftrightarrow & B \cr \phi^k&\leftrightarrow & \phi_{\rm cl}^k \cr S[\phi]&\leftrightarrow &\Gamma[\phi_{\rm cl}]\cr \hbar&\leftrightarrow &\hbar^{\prime} \cr Z[J]&\leftrightarrow &Z_{\Gamma}[J]\cr W^{\rm tree}_c[J]&\leftrightarrow &W_c[J] \end{array}$$

B) Finalmente, abordemos la pregunta de OP. Considere la acción efectiva/adecuada

$$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~\equiv~\underbrace{\frac{1}{2}\phi_{\rm cl}^k (\Gamma_2)_{k\ell}\phi_{\rm cl}^{\ell}}_{\text{quadratic part}} + \underbrace{\Gamma_{\neq 2}[\phi_{\rm cl}]}_{\text{the rest}}.\tag{B1}$$

A diferencia de la acción clásica (A1), la acción efectiva (B1) depende (implícitamente) de la constante reducida de Planck$\hbar$. Nos gustaría hacer un wrt de expansión de bucle. un nuevo parámetro$\hbar^{\prime}$.

Con este fin, defina una función de partición/integral de trayectoria

$$\begin{align} Z_{\Gamma}[J] ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi_{\rm cl}}{\sqrt{\hbar^{\prime}}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \underbrace{\left(\Gamma[\phi_{\rm cl}]+J_k \phi_{\rm cl}^k\right)}_{=:~\Gamma_J[\phi_{\rm cl}]}\right\} \tag{B2}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i} (\Gamma_2)_{mn}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \Gamma_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar^{\prime}}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\}\cr &\exp\left\{- \frac{i}{2\hbar^{\prime}} J_k (\Gamma_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\}\tag{B3}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{WKB}\cr\text{approx.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2\Gamma[\phi_{\rm cl}[J]]}{\delta \phi_{\rm cl}^m \delta \phi_{\rm cl}^n}\right)^{-1/2}\cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}}\left(\Gamma[\phi_{\rm cl}[J]]+J_k \phi_{\rm cl}^k[J]\right)\right\}\cr &\left(1+ {\cal O}(\hbar^{\prime})\right) \tag{B4}\end{align}$$ en la fase estacionaria/aproximación WKB$\hbar^{\prime}\to 0$. También las ecuaciones EL. para la acción eficaz$\Gamma_J[\phi_{\rm cl}]$para el campo clásico$\phi_{\rm cl}^k$leer $$J_k~\approx~-\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi_{\rm cl}^k~\approx~\phi_{\rm cl}^k[J]. \tag{B5}$$

Recuérdese que la acción efectiva (B1) es por definición la transformación de Legendre del funcional generador

$$W_{c}[J]~\equiv~\Gamma[\phi_{\rm cl}] + J_k \phi_{\rm cl}^k \tag{B8}$$ para diagramas conectados. Tenga en cuenta que las ecuaciones EL. (B5) son compatibles con esto.

Debido a la similitud estructural entre dos transformaciones de Legendre (A8) y (B8), cf. Tabla 1, obtenemos un análogo a la ec. (A9):

$$\begin{align}&W_c[J]~\stackrel{(B3)+(B4)+(B8)}{=}\cr \lim_{\hbar^{\prime}\to 0} \frac{\hbar^{\prime}}{i}& \ln\left( \exp\left\{ \frac{i}{\hbar^{\prime}} \Gamma_{\neq 2}\left[ \frac{\hbar^{\prime}}{i} \frac{\delta}{\delta J}\right] \right\} \exp\left\{- \frac{i}{2\hbar^{\prime}} J_k (\Gamma_2^{-1})^{k\ell} J_{\ell} \right\} \right) .\end{align}\tag{B9}$$ En retrospectiva, la ec. (B9) puede verse como una consecuencia funcional de las ecs. (B1) y (B8) solos.

Por otro lado, dado un conjunto finito arbitrario de inserciones de fuentes externas, entonces (una suma de todos los posibles) diagramas conectados es (una suma de todos los posibles) árboles de propagadores completos$^{\dagger}$ $(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}$y vértices 1PI (amputados), cf. Lema 3.11 en Ref. 5.

Junto con la ec. (B9), concluimos que la acción efectiva$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$es el generador funcional para vértices 1PI (amputados) (y propagador completo inverso$(\Gamma_2)_{k\ell}$).$\Box$

Referencias:

1. S. Weinberg, Teoría cuántica de campos, vol. 2, 1995; Sección 16.1.

2. S. Coleman, Aspectos de la simetría, 1985; pag. 135-6.

3. M. Srednicki, QFT, 2007; Capítulo 21. Un archivo PDF preliminar a la publicación está disponible aquí .

4. D. Skinner , QFT en 0D , pág. 32. (Punta de sombrero: El último caballero de la ruta de la seda ).

5. P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 notas de conferencias en línea ; Secciones 3.11 y 3.12. (Consejo de sombrero: Abdelmalek Abdesselam .)

6. R. Kleiss, Pictures, Paths, Particles, Processes, Feynman Diagrams and All That and the Standard Model , notas de conferencias, 2013; apartado 1.5.2.

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$^{\dagger}$ Letra pequeña:

1. Suponga que el generador$W_c[J]$de diagramas conectados no tiene términos lineales en$J$, para que la acción efectiva$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$no tiene términos lineales en$\phi_{\rm cl}$, y asi que$(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}=-(W_{c,2})^{k\ell}$es el propagador conexo completo, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .

2. Aquí la noción de los vértices irreducibles de una partícula (1PI) se define wrt. a propagadores completos$(W_{c,2})^{k\ell}$, que es equivalente a la noción de vértices 1PI wrt. a los propagadores desnudos$(S_2^{-1})^{k\ell}$, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

Esto tiene una prueba matemáticamente rigurosa utilizando la teoría de grupos relacionada con grafos. Puede encontrarlo en las notas de la conferencia del MIT IDEAS Y NOCIONES MATEMÁTICAS DE LA TEORÍA DE CAMPOS CUÁNTICOS

En la página 13, el teorema 3.4 tiene la demostración. Para encontrar más detalles útiles de la prueba, puede consultar las notas de la conferencia de Cambridge de David Skinner Advanced Quantum Field Theory . En el primer capítulo, introdujo el llamado$0$-Teoría cuántica de campo dimensional (es decir, integrales gaussianas) y la teoría de grupos que necesita para comprender la prueba de las notas de clase anteriores.