¿En qué sentido es la acción propia/efectiva Γ[ϕc]Γ[ϕc]\Gamma[\phi_c] una acción clásica corregida cuánticamente S[ϕ]S[ϕ]S[\phi]?

Queremos calcular la integral de trayectoria

$$Z = \int \mathcal{D}{\phi}\, e^{i \hbar^{-1} S[\phi]}$$ que codifica una amplitud de transición entre los estados cuánticos inicial y final.

Si tuviéramos la acción efectiva$\Gamma[\phi]$a nuestra disposición, habríamos calculado el mismo resultado resolviendo para

$$\phi_c(x):\quad \left. \frac{\delta \Gamma}{\delta \phi} \right|_{\phi=\phi_c} = 0$$ y volviendo a enchufarlo en la acción efectiva: $$Z = e^{i \hbar^{-1} \Gamma[\phi_c]}.$$

Esta es la definición de$\Gamma$.

Tenga en cuenta que no se requieren integrales de trayectoria en este punto. Las condiciones de contorno están implícitamente presentes a lo largo de esta respuesta, codificando los estados exactos entre los cuales ocurre la transición cuántica. Su existencia asegura que solo hay una solución.$\phi_c$.

ahora por que$\phi_c$se llama clásico : resuelve el eom dado por la acción$\Gamma$.

Pensar en$\Gamma$como de un objeto en el que todas las propiedades a pequeña escala de la medida de integración$\mathcal{D}\phi$(incluidos los problemas relacionados con la renormalización) ya están contabilizados. Simplemente resuelve el eom y conecta la solución en el exponencial y listo: aquí está su amplitud de transición.

Habiendo dicho eso,$\Gamma$no es clásico en el sentido de que todavía describe la dinámica de una teoría cuántica. Sólo que de una manera diferente. Manipulaciones algebraicas simples en lugar de integrales de trayectoria.

Finalmente, observe cómo si la integral de trayectoria es gaussiana,

$$\Gamma[\phi] = S[\phi] + \text{const},$$ dónde $\text{const}$representa la constante de normalización de la integral de trayectoria. No hay correcciones cuánticas.

En la teoría clásica, sin embargo, resolvemos el eomwrt$\phi = \phi_c$para$S[\phi]$, no$\Gamma[\phi]$. Conectándolo de nuevo$S[\phi_c]$nos da la función de Hamilton. Cuando la integral de trayectoria es Gaussiana, no importa si usamos$S$o$\Gamma$, y exponenciar la función de Hamilton le da la amplitud de transición. Sin embargo, si estamos tratando con una teoría interactiva, la forma correcta de hacerlo sería usar$\Gamma$en lugar de$S$. En este sentido,$\Gamma$es la versión corregida cuánticamente de$S$.

Y sí, siempre es cierto (se puede demostrar usando la fórmula de aproximación del punto silla) que

$$\Gamma[\phi] = S[\phi] + \mathcal{O}(\hbar).$$

¿Por qué no usaríamos simplemente$\Gamma[\phi]$para definir la teoría cuántica y olvidarse de$S[\phi]$¿todos juntos? Porque$\Gamma$no es local y contiene una cantidad infinita de parámetros ajustables . Estos se pueden determinar a partir de la forma de$S[\phi]$por, bueno, cuantización. por eso es$S[\phi]$que define la teoría, no$\Gamma$.$\Gamma$debe calcularse mediante integrales de trayectoria.

ACTUALIZACIÓN: También es importante entender que en QFT ingenuo$\Gamma$contiene divergencias, mientras que$S$no. Sin embargo, la situación real es opuesta. Es$S$que contiene divergencias (acoplamientos desnudos divergentes), que se anulan frente a las divergencias que provienen de la integral de trayectoria, lo que genera un finito (es decir, renormalizado)$\Gamma$. Eso$\Gamma$debe ser finito es evidente por cómo lo usamos para calcular las propiedades físicas: solo resolvemos el eom y volvemos a conectar el resultado$\Gamma$.

En realidad, el objetivo de la renormalización es hacer$\Gamma$finito y bien definido mientras ajusta solo un número finito de acoplamientos divergentes en la acción desnuda$S$.

Ya hay una buena respuesta de Solenodon Paradoxus. Aquí proporcionamos una prueba formal (a través de la fase estacionaria/aproximación WKB).

1. Para arreglar la notación, definimos la acción 1PI efectiva/propia

   $$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k, \tag{1}$$ como la transformación de Legendre del funcional generador$W_c[J]$para diagramas conectados. Suponemos que la transformación de Legendre es regular, es decir, la fórmula $$\begin{align} \phi_{\rm cl}^k~=~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} \cr \Updownarrow~& \cr J_k~=~&-\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k}\end{align} \tag{2}$$ es invertible Aquí$J_k$son las fuentes y$\phi_{\rm cl}^k$son los llamados campos clásicos. (La última terminología es un poco equivocada ya que$\phi_{\rm cl}^k[J]$en función de las fuentes$J_{\ell}$podría depender explícitamente de$\hbar$. Consulte también la sección 8 a continuación).

2. La función de partición/integral de trayectoria es

   $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar} W_c[J]\right\}\cr ~=~&Z[J]\cr ~:=~&\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_k \phi^k\right)\right\} . \end{align}\tag{3}$$ La primera igualdad en la ec. (3) es el teorema del cúmulo vinculado , cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

3. En este lugar se acostumbra mencionar algunos hechos elementales. La función de 1 punto/campo promediado cuántico es por definición

   $$\begin{align} \langle \phi^k \rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~=~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta }{\delta J_k}\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_{\ell} \phi^{\ell}\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i}\frac{\delta Z[J]}{\delta J_k}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~\stackrel{(2)}{=}~\phi_{\rm cl}^k. \end{align} \tag{4}$$

4. La función de 2 puntos es por definición

   $$\begin{align} \langle \phi^k \phi^{\ell}\rangle_J ~:=~&\frac{1}{Z[J]} \int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\phi^k\phi^{\ell}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(S[\phi]+J_m \phi^m\right)\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}}~\cr \stackrel{(3)}{=}~&\frac{1}{Z[J]} \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta J_k} \left(Z[J]\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_{\ell}}\right)\cr ~\stackrel{(4)}{=}~&\frac{\hbar}{i} \frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell}} + \langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J,\end{align} \tag{5}$$ es decir, la función de 2 puntos conectada más una pieza desconectada.

5. Ahora volvamos a la pregunta de OP. Por transformada formal inversa de Fourier de la integral de trayectoria (3), obtenemos

   $$\begin{align} \exp&\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&\int \! {\cal D}\frac{J}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} \left(W_c[J]-J_k \phi_{\rm cl}^k\right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k \delta J_{\ell}}\right)^{-1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \cr ~\stackrel{(8)}{=}~& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right)^{1/2} \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{6}$$ en la fase estacionaria/aproximación WKB $J_k=J_k[\phi_{\rm cl}]+\sqrt{\hbar}\eta_k$. En la última igualdad de la ec. (6), usamos eso $$\begin{align}\delta^k_{\ell} ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr ~=~&\frac{\delta \phi_{\rm cl}^k[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_m} \frac{\delta J^m[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}} \cr ~\stackrel{(2)}{=}~& -\frac{\delta^2 W_c[J[\phi_{\rm cl}]]}{\delta J_k\delta J_m} \frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}},\end{align} \tag{7}$$ es decir

   $$\begin{align}&\text{The 2-pt functions }\cr & \frac{1}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_m} \text{ and } \frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta\phi_{\rm cl}^m\delta\phi_{\rm cl}^{\ell}}\cr& \text{ are inverses of each other.} \end{align}\tag{8}$$

6. Supondremos que la acción$S$no tiene explícito$\hbar$-dependencia. La acción efectiva$\Gamma[\phi_{\rm cl}]=\sum_{n=0}^{\infty}\Gamma_n[\phi_{\rm cl}]$se convierte en un$\hbar$/bucle-expansión . ecuación (6) muestra que la acción efectiva

   $$\begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(6)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{9} \cr ~\stackrel{(9)}{=}~& S[\phi_{\rm cl}] +\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\right) +{\cal O}(\hbar^2) \tag{10}\end{align}$$ está de acuerdo con la acción$S$hasta correcciones cuánticas. En la ec. (10) hemos definido la arpillera $$H_{k\ell}[\phi]~:=~ \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^k\delta\phi^{\ell}}. \tag{11}$$ (El factor de raíz cuadrada en la ecuación (6) solo contribuye en un ciclo y más allá).

   En otras palabras, deducimos que a orden cero en$\hbar$/diagramas de árbol en la acción efectiva

   $$\text{Tree-level}:~~ \Gamma_0[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(9)}{=}~S[\phi_{\rm cl}] \tag{12}$$

   es igual a la acción$S$sí mismo. De manera similar, deducimos que a primer orden en$\hbar$/diagramas de un bucle en la acción efectiva

   $$\text{1-loop}:~~ \Gamma_1[\phi_{\rm cl}] ~\stackrel{(10)}{=}~\frac{i\hbar}{2}\ln {\rm Det}\left(\frac{1}{i} H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \right) \tag{13}$$

   es igual a un determinante funcional de la arpillera de la acción$S$. ecuaciones (10), (12) y (13) responden la pregunta de OP. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

7. En este lugar se acostumbra mencionar algunos hechos elementales. Que se den fuentes fijas$J_k$. De$^1$

   $$\begin{align} \frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k} ~\stackrel{(2)}{=}~~&-J_k\cr ~\stackrel{\text{EL eqs.}}{\approx}& \frac{\delta S[\phi_0]}{\delta \phi^k} \cr ~=:~~&E_k[\phi_0], \end{align} \tag{14}$$ deducimos que la llamada solución clásica$\phi_{\rm cl}^k$y la solución de Euler-Lagrange (EL)$\phi_0^k$aceptar$^1$ $$\phi_{\rm cl}^k[J]~\stackrel{(9)+(14)}{\approx}~\phi_0^k[J] +{\cal O}(\hbar) \tag{15}$$ hasta correcciones cuánticas. ecuación (15) justifica la práctica de llamar$\phi_{\rm cl}^k$el campo clásico. (Suponemos que cada solución de la ecuación (14) es única, debido a las condiciones de contorno pertinentes. Hemos excluido los instantes por simplicidad).

   Por el contrario, si nos dan una$\phi_{\rm cl}$, podemos considerar la fuente desplazada correspondiente

   $$\begin{align} J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]~:=~&E_k[\phi_{\rm cl}]+J_k[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(2)}{=}~&\frac{\delta S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} -\frac{\delta \Gamma[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}}\cr ~\stackrel{(12)}{=}~&-\frac{\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi^k_{\rm cl}} ~=~{\cal O}(\hbar). \end{align}\tag{16}$$

8. Alternativamente, desde el método de campo de fondo

   $$\underbrace{\phi^k}_{\text{quan. field}} ~=~\overbrace{\underbrace{\phi^k_{\rm cl}}_{\text{clas. field}}}^{\text{backgr. field}}+\underbrace{\eta^k}_{\text{fluctuation}}, \tag{17}$$ la acción efectiva (1) se convierte en $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{(1)+(3)}{=}& \int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi] +J_k[\phi_{\rm cl}](\phi^k-\phi^k_{\rm cl}) \right) \right\} \cr ~\stackrel{(17)}{=}~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left(S[\phi_{\rm cl}+\eta] +J_k[\phi_{\rm cl}] \eta^k \right)\right\} \cr ~=~& \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \left( S[\phi_{\rm cl}] +\underbrace{\left(E_k[\phi_{\rm cl}] +J_k[\phi_{\rm cl}]\right)}_{={\cal O}(\hbar)} \eta^k +\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}] \eta^{\ell} +{\cal O}(\eta^3) \right)\right\} \cr ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}] \right)^{-1/2}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right) \exp\left\{ \frac{i}{\hbar}\left(S[\phi_{\rm cl}] -\frac{1}{2}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right)\right\} \cr ~\stackrel{(2)+(15)}{=}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2}\exp\left\{ \frac{i}{\hbar}S[\phi_{\rm cl}]\right\}\left(1+ {\cal O}(\hbar)\right)\cr &\quad\text{for}\quad\hbar~\to~0 \end{align} \tag{18}$$ en la fase estacionaria/aproximación WKB $$\eta^k~=~ -(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] + \underbrace{{\cal O}(\sqrt{\hbar})}_{\text{fluctuation}}.\tag{19}$$ ecuación (18) nuevamente conduce a la ecuación buscada. (10).

9. Más generalmente, si separamos la acción

   $$S[\phi]~=~ \underbrace{E_k[\phi_{\rm cl}]\eta^k}_{\text{linear part}} + \underbrace{\frac{1}{2}\eta^k H_{k\ell}[\phi_{\rm cl}]\eta^{\ell}}_{\text{quadratic part}} +\underbrace{S_{\neq 12}[\phi_{\rm cl},\eta]}_{\text{the rest}}, \tag{20}$$ entonces la acción efectiva lee a todas las órdenes $$\begin{align}\exp&\left\{\frac{i}{\hbar}\Gamma[\phi_{\rm cl}]\right\}\cr ~\stackrel{\begin{array}{c}\text{Gauss.}\cr\text{int.}\end{array}}{\sim}& {\rm Det}\left(\frac{1}{i}H_{mn}[\phi_{\rm cl}]\right)^{-1/2} \cr &\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 12}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\} \cr &\exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\end{align}\tag{21}$$ después de una integración gaussiana. Resulta que $$\begin{align}\frac{i}{\hbar}&\Gamma_{>1}[\phi_{\rm cl}]\cr ~\stackrel{(12)+(13)+(21)}{=}& \ln\left(\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_{\neq 012}\left[\phi_{\rm cl},\frac{\hbar}{i}\frac{\delta}{\delta J_k[\phi_{\rm cl}]} \right]\right\}\right. \cr &\left. \exp\left\{ -\frac{i}{2\hbar}J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}] (H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}] J_{\ell}^{>0}[\phi_{\rm cl}] \right\}\right)\end{align}\tag{22}$$ es la suma de todos los diagramas conectados hechos de propagadores$-(H^{-1})^{k\ell}[\phi_{\rm cl}]$; fuentes externas desplazadas$J_k^{>0}[\phi_{\rm cl}]$; y$\eta$-vértices con$\geq 3$ $\eta$-piernas.

   Después de sustituir$J^{>0}_k[\phi_{\rm cl}]=-\delta \Gamma_{>0}[\phi_{\rm cl}]/\delta \phi_{\rm cl}^k$en el lado derecho de la ec. (22) a través de la relación (16), entonces se puede demostrar que la ec. (22) se convierte en una relación recursiva de todo orden para la acción efectiva$\Gamma[\phi_{\rm cl}]$.

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$^1$El$\approx$símbolo significa aquí igualdad módulo las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) .

Obviamente,$\phi(x)$es diferente de$\phi_c(x)$. El primero es un campo clásico de una teoría de campos clásica, el segundo es solo una cantidad que aparece en la transformada de Legendre del funcional generador para funciones de Green conectadas. Simplemente sucede que para las acciones clásicas que pueden tratarse como perturbaciones en torno a acciones cuadráticas, las ecuaciones satisfechas por$\phi_c(x)$coincidir con los de$\phi(x)$en la teoría clásica de campos, en el límite$\hbar\rightarrow 0$.

Excepto por el sugerente nombre, tampoco hay correspondencia cuántica-clásica:$\phi_c(x)$no es el valor esperado del campo$\hat{\phi}(x)$en presencia de una fuente externa (expresada en términos de probabilidades adecuadamente definidas). No tiene sentido como un observable cuasi-clásico.

Además, la acción efectiva no es local y, por lo tanto, no genera ninguna dinámica cuasi clásica efectiva. La acción efectiva es solo un generador de funciones de Green relevantes para el cálculo de los elementos de la matriz S.