¿Definir acción cuántica efectiva / adecuada (transformación de Legendre), existencia de inversa (fuente de campo)?

1. Si tratamos la funcional generatriz$W_c[J]$para diagramas conectados como una serie de potencia formal en las fuentes$J_i$, y si el propagador conectado$^1$

   $$\begin{align} \langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_J~=~& \frac{\hbar}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell} }\cr ~=~&\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_J-\langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J\end{align} \tag{1}$$ es invertible en$J=0$, entonces la acción efectiva/adecuada $$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi^k_{\rm cl} \tag{2}$$ existe como una serie de potencia formal en la variable transformada de Legendre$\phi_{\rm cl}$. En particular, la inversión de la serie formal de potencias $$\phi^k_{\rm cl}~=~\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~=~ \langle \phi^k \rangle_J\tag{3}$$ luego se sigue de una generalización de múltiples variables del teorema de inversión de Lagrange .

2. Concretamente, a los órdenes más bajos, si ampliamos

   $$\begin{align} W_c[J]~=~&W_{c,0} ~+~J_k W_{c,1}^k ~+~\frac{1}{2}J_k W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}J_k J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^4), \end{align}\tag{4}$$ nosotros calculamos $$\begin{align} \Delta\phi^k_{\rm cl} ~:=~& \phi^k_{\rm cl}~-~ W_{c,1}^k\cr ~\stackrel{(3)+(4)}{=}&~W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}~+~\frac{1}{2} W_{c,3}^{k\ell m} J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^3),\end{align} \tag{5}$$ de modo que $$\begin{align} J_k~\stackrel{(5)}{=}~&(W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\left(\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^p_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{pm} W_{c,3}^{m\ell n}(W^{-1}_{c,2})_{nq}\Delta\phi^q_{\rm cl} \right)\cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^3_{\rm cl}).\end{align}\tag{6}$$ Perturbativamente, la transformada de Legendre se convierte en $$\begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}]~\stackrel{(2)+(4)+(6)}{=}& W_{c,0} ~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^k_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}(W^{-1}_{c,2})_{kp}(W^{-1}_{c,2})_{\ell q}(W^{-1}_{c,2})_{mr}\Delta\phi^p_{\rm cl}\Delta\phi^q_{\rm cl}\Delta\phi^r_{\rm cl} \cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^4_{\rm cl}),\end{align}\tag{7}$$ Etcétera.

3. De manera similar, perturbativamente, la transformada inversa de Legendre se convierte en

   $$\begin{align} W_c[J]~\stackrel{(2)+(9)}{=}& \Gamma_0 ~-~\frac{1}{2}\Delta J_k (\Gamma^{-1}_2)^{k\ell}\Delta J_{\ell}\cr ~-~&\frac{1}{6} \Gamma_{3,k\ell m}(\Gamma^{-1}_2)^{kp}(\Gamma^{-1}_2)^{\ell q}(\Gamma^{-1}_2)^{mr}\Delta J_p\Delta J_q\Delta J_r\cr ~+~&{\cal O}(\Delta J^4),\end{align}\tag{8}$$ y así sucesivamente, donde $$\Delta J_k~:=~ J_k~+~ \Gamma_{1,k}.\tag{9}$$

4. En este punto parece natural terminar con la siguiente proposición útil.

   Proposición. Si$^2$

   $$\langle \phi^k \rangle_{J=0}~=~0,\tag{10}$$

   o equivalentemente, si

   $$W^k_{c,1}~=~0,\tag{11}$$

   después:

   • La función completa de 2 puntos es igual a la función completa de 2 puntos conectada:

     $$\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_{J=0}~=~\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_{J=0}~=~\frac{\hbar}{i}G_c^{k\ell},\tag{12}$$ cf. ec. (1).

   • $$\Gamma_{1,k}~=~0,\tag{13}$$ cf. ec. (7).

   • $$-(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}~=~(W_{c,2})^{k\ell}~=~G_c^{k\ell}\tag{14}$$ es el propagador conexo completo, cf. ec. (8).

   • no hay renacuajos$^3$en el sentido de que si un solo corte corta un diagrama conectado en 2 partes, entonces ambas partes contienen$J$-fuentes, cf. por ejemplo, Srednicki, QFT , capítulo 9, pág. 67. Esto se deriva del hecho de que (una suma de todos los posibles) diagramas conectados es (una suma de todos los posibles) árboles de propagadores completos y vértices 1PI (amputados), cf. esta publicación Phys.SE.

   • En particular, los diagramas de vacío conectados$W_{c,0}=\Gamma_0$son todos diagramas 1PI, cf. ec. (8).

   • En particular, la energía propia

     $$\Sigma~=~G_0^{-1}-G_c^{-1},\tag{15}$$ [que en general consta de diagramas conectados con 2 piernas amputadas de manera que las 2 piernas no se pueden desconectar cortando una sola línea interna] ahora solo consta de diagramas 1PI.

   • La acción efectiva wilsoniana $W_{c,\rm int}[J\!=\!0,\phi_L]$consiste$^4$de sólo 1PI términos de acción.

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$^1$Usamos la notación condensada de DeWitt para no saturar la notación. Consulte también, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

$^2$Esta es una condición de renormalización estándar. Debido a la conservación de la cantidad de movimiento,

$$\langle \widetilde{\phi}(k) \rangle_{J=0}~=~\widetilde{W}_{c,1}(k)~~\propto~~\delta^4(k) \tag{16}$$ se satisface automáticamente.

$^3$Tenga en cuenta que la noción anterior de diagramas de renacuajo no es lo mismo que los diagramas de bucle automático, cf. Wikipedia .

$^4$La condición de renormalización (11) dice en esta situación

$$0~=~\langle \phi^k_H \rangle_{J=0,\phi_L}~=~\left. \frac{\delta W_c[J,\phi_L]}{\delta J_k}\right|_{J=0}.\tag{17}$$ La condición de renormalización (17) debe cumplirse para todos los valores del campo de fondo$\phi_L$. Tenga en cuenta que$\phi_H$-términos de renacuajo$\phi_L\ldots\phi_L\phi_H$se suprimen cinemáticamente en la acción efectiva wilsoniana. La condición de renormalización (17) es consistente con el flujo del grupo de renormalización. Esto se debe a la ecuación de flujo del grupo de renormalización exacta de Polchinski (ERGE), $$\frac{d W^k_{1,c}}{d\Lambda}~\propto~\ldots \underbrace{\frac{\delta W^k_{1,c}}{\delta\phi_L}}_{=0} +\ldots \underbrace{\frac{\delta^2 W^k_{1,c}}{\delta\phi_L^2}}_{=0}~=~0,\tag{18}$$ cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

Esta es una pregunta interesante, y aunque no sé una respuesta rigurosa, podemos discutir algunos casos típicos.

Por lo general, la inversa existe, pero los casos en los que esta inversa no existe no son necesariamente patológicos (los modelos sólidos pueden tener el problema de que la inversa no existe).

Para las teorías de campo estándar (digamos,$\phi^4$, modelos O(N), modelos de espines clásicos, ...), genéricamente existe la inversa, y esto se puede mostrar orden por orden en una expansión de bucle (no sé si esto se ha demostrado en algún orden, pero en libros de texto estándar, esto se muestra para ordenar 1 o 2). Sin embargo, la inversa no existirá necesariamente para todos$\phi_{cl}$, especialmente en fases de simetría rota. De hecho, una fase ordenada se caracteriza por

$$\bar\phi_{cl}=\lim_{J\to 0 } \phi_{cl}[J]=\lim_{J\to 0 }W'[J]\neq 0 ,$$ dónde $\bar \phi_{cl}$es el valor de equilibrio del parámetro de orden. Por lo tanto, no se puede invertir la relación $\phi_{cl}[J]$por $\phi_{cl}\in [0,\bar \phi_{cl}]$( $\phi_{cl}[J]$generalmente aumenta cuando $J$aumenta).

Además, hay casos en los que la inversa simplemente no está definida, porque$\phi_{cl}[J]={\rm const}$para todos$J$. Este suele ser el caso cuando el campo no tiene una dinámica independiente sin una fuente. Por ejemplo, si toma un solo giro cuántico a temperatura cero, la única dinámica viene dada por el campo magnético externo (aquí en el$z$dirección)

$$\hat H= -h.\sigma_z.$$ Con $h>0$, el estado fundamental es siempre $|+\rangle$, y el "campo clásico" $\phi_{cl}(h)=\langle \sigma_z\rangle=1/2$para todos $h$, y la energía libre de Gibbs (la transformada de Legendre de la energía libre con respecto a $h$, que es esencialmente la acción efectiva) no existe.