Varios puntos estacionarios de la acción funcional.

Puede haber más de una solución clásica estacionaria para un principio de acción con las condiciones de contorno pertinentes. Por ejemplo, debido a instantones o simetría de calibre.

Ejemplo: un cuerpo rígido giratorio con momento de inercia$I$. la acción es

$$\tag{1} S~=~\int_{t_i}^{t_f}\! dt ~L , \qquad L ~:=~\frac{I}{2}\dot{\theta}^2,$$ con condiciones de contorno de Dirichlet (BC) $$\tag{2} \theta(t_i)-\theta_i~\in~2\pi\mathbb{Z} \qquad\text{and}\qquad\theta(t_f)~-\theta_f\in~2\pi\mathbb{Z} .$$ Es posible satisfacer la EOM$\ddot{\theta}\approx 0$y BC (2) de infinitas maneras correspondientes a diferentes números de devanados.

Las soluciones de Instanton son una característica importante de la teoría cuántica de campos. Por otro lado, las ambigüedades de calibre generalmente se eliminan mediante la fijación de calibre.

Como ejemplo, considere el campo escalar real con acción,

$$S=\int \mathrm{d}^4 x \, \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right)$$

El principio de acción estacionaria insiste$\delta S = 0$, y los campos que permiten esto son aquellos que satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas, que son simplemente,

$$(\square+m^2)\phi=0$$

Como señaló el OP, hay muchas soluciones para las ecuaciones de movimiento; esto no es un problema. A los efectos de la cuantización canónica, generalmente expandimos el campo como una onda plana y promovemos los coeficientes de Fourier a operadores, etc. Una teoría puede tener otras soluciones, y en muchos casos es interesante estudiarlas, cf solitones.