¿Cómo calcular el valor esperado ⟨x2⟩⟨x2⟩\langle x^2 \rangle en mecánica cuántica?

En general,$\psi$será una función de valor complejo. Y entonces$|\psi(x)|^2$no será igual solo$\psi(x)^2$pero es$\psi(x)$, multiplicado por su complejo conjugado:$|\psi(x)|^2=\psi(x)^*\psi(x)$.

Acerca de su otra pregunta, el significado de$|\psi(x)|^2$es el de una densidad de probabilidad, con$[|\psi(x)|^2 \mathrm{d}x]$dando la probabilidad de que la partícula se encuentre entre$x$y$x + \mathrm{d}x$.

En mecánica cuántica, la probabilidad de que una partícula se encuentre en un estado particular se describe mediante una función de densidad de probabilidad$\rho(x,t)$.

Supongamos que mi sistema es un dado de 6 caras. Entonces el valor esperado para una tirada dada es

De manera similar, el valor esperado para un parámetro dado$x$de una partícula en la mecánica cuántica es

Tenga en cuenta que en la mecánica cuántica, no solo tenemos los estados sino también sus superposiciones. Todavía$\rho(x,t)$no contiene información sobre estas superposiciones, solo estados observables. Por lo tanto, necesitamos algo más fundamental que incorpore información sobre superposiciones. eso es lo que$\psi$es para y por que$\psi(x,t) \in \Bbb C$. Por la regla Born (un axioma),

$\psi$se puede considerar como un vector de columna complejo con infinitas entradas indexadas por la variable$x$. Entrada en$x$la posición se denota como$\psi(x)$.$|\psi(x)|^2$es entonces el cuadrado de la moda de la entrada en$x$ª posición. La expresion$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2|\psi(x)|^2dx$puede entenderse heurísticamente como:

$[*,*,\overline{\psi(x)},*,*]\left[ \begin{array}{cc} * & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & * & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & x^2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & * & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}*\\*\\\psi(x)\\*\\*\end{array}\right]$

Dónde$[*,*,\overline{\psi(x)},*,*]$es un vector de fila de dimensión infinita que es la transposición conjugada del vector de columna$\psi$; Y en el medio tenemos matriz diagonal de dimensión infinita cuya$(x,x)$la entrada es$x^2$. En general, esto es cierto en QM. Cualquier observable$A$se puede escribir como una matriz hermítica que actúa sobre el espacio de vectores columna (el espacio de estado) y su valor esperado para un vector columna dado$\psi$Se define como$\langle A\rangle_{\psi}=\psi^{\dagger}A\psi = \displaystyle\sum_{i,j}\overline{\psi_i}A_{ij}\psi_{j}$. En este caso de dimensión infinita, como se mencionó anteriormente, la suma se reemplaza por integral sobre los índices continuos.