¿Las funciones de onda realmente pertenecen al espacio L2L2L^2, o necesitamos restringir aún más nuestro espacio físico de Hilbert?

Estoy empezando a estudiar mecánica cuántica y me quedé atascado justo al principio. Estoy tratando de probar que la derivada temporal del valor esperado del momento de una partícula es el valor esperado (negativo) del gradiente del potencial, es decir, en una dimensión tenemos

d ⟨ pag ⟩ d t = − ⟨ d V d X ⟩
lo que significa
d ⟨ pag ⟩ d t = − ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ∂ V ∂ X ψ   d X
(aquí ψ ∗ es el complejo conjugado de ψ )

La función de onda ψ debe ser sumable al cuadrado, es decir, vivir en L 2 ( R ) . Entiendo que podemos cociente este espacio con la relación de equivalencia que asocia dos funciones que son iguales en casi todas partes, por lo que podemos afirmar correctamente que ψ ( X , t ) ⟶ 0 cuando X ⟶ ± ∞ y de esta manera podemos deshacernos de los términos de contorno al integrar por partes. Pero en la derivación de la relación anterior obtuve lo siguiente:

d ⟨ pag ⟩ d t = ∫ − ∞ ∞ V ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ X + ψ ∂ ψ ∂ X ∗ )   d X − ℏ 2 2 metro [ ∂ ψ ∂ X ∗ ∂ ψ ∂ X ] − ∞ ∞
Ahora bien, el término límite debe desaparecer para que se verifique la relación, pero ¿por qué desaparece? Hay funciones en L 2 cuyas derivadas no están en L 2 , y ese término límite no desaparece en algunos de esos casos. ¿Deberíamos considerar funciones de onda en algún tipo de espacio de Sobolev? ¿Hay alguna razón física detrás de la desaparición de los términos de frontera?

Respuestas (1)

Tienes razón en que técnicamente hay que tener cuidado y los espacios de Sobolev, etc. o algún subconjunto de L 2 con condiciones de contorno apropiadas se debe considerar cuando se quiere ser preciso.

Sin embargo, en los textos introductorios a la mecánica cuántica, estos detalles relacionados con los términos de los límites generalmente se esconden (con éxito) debajo de la alfombra diciendo cosas como "el campo y sus derivados se reducen a cero cerca del infinito". Este enfoque permite centrarse más en la física y menos en el lado matemático de las cosas. Por supuesto, todo es cuestión de gustos, siempre y cuando obtengas los resultados correctos ;-)

La desaparición de la función de onda y sus derivadas cerca del infinito suele estar motivada por afirmar que el sistema en consideración está de alguna manera localizado en el espacio e invocar el principio aparentemente razonable de que esto no debería influir en la física lejana: en términos matemáticos, uno asume que todo estos campos tienen soporte compacto.

A partir de mi experiencia personal con la mecánica cuántica rigurosa, normalmente uno termina obteniendo exactamente los mismos resultados que se obtienen con medios más elementales, y para algunos, menos satisfactorios, en QM "física".

¿No es esta suposición de "localidad" demasiado antropocéntrica? Por lo que entiendo (que lamentablemente no es demasiado) algunos hechos interesantes sobre QM gravitan en torno a la caída del realismo local.
Pero esto puede ser una pregunta metafísica para la filosofía.SE :)
Supongo que se está refiriendo a cosas como el teorema de Bell; estas preguntas no están cubiertas por esta respuesta. Sin embargo, creo que uno necesita fundamentalmente algún tipo de noción de localidad para que la física tenga sentido. Sin ella, siempre se puede "culpar a los extraterrestres" de lo que sucede en el mundo que nos rodea.
Por supuesto, esto incluye cosas como enredos; Las partículas deben haber interactuado (es decir, deben haber estado en contacto causal) para que suceda algo como esto. En configuraciones típicas de tipo Bell, primero se deja que las partículas interactúen y luego se separan.
La restricción a ciertos subespacios como los espacios de Sobolev no es una restricción del espacio de estados físicos, en mi opinión, sino simplemente una restricción de los dominios de los operadores (que, de ilimitados, no se pueden definir en todas partes para comenzar)
@ACuriousMind Supongo que estoy de acuerdo en que esta es una forma más natural de pensar en ello. Aunque no creo que realmente importe. Si lo desea, lo invito a ampliar mi respuesta en un párrafo más o menos, mencionando a Hellinger-Töplitz (supongo que es a lo que se refiere).
En realidad, es suficiente exigir que ψ es una solución (fuerte) de la ecuación de Schrödinger en el espacio de posiciones, esto exige especialmente que ψ tiene que ser dos veces (débilmente) diferenciable wrt X , físicamente hablado: ψ no puede variar de maneras demasiado locas. Si combinas esto con el hecho de que ψ y derivados de ψ son L 2 , esto implica que ψ desaparece en el infinito. Matemáticamente hablado: ψ ( ⋅ , t ) ∈ H 2 ( R 3 ) (espacio de Sobolev de funciones derivables dos veces) implica límite | X | → ∞ ψ ( X , t ) = 0 .
@Daniel, el espíritu de esta respuesta es que tales tecnicismos generalmente resultan no ser esenciales; hacer suposiciones físicas correctas generalmente conduce a las mismas conclusiones, especialmente cuando se consideran problemas elementales del tipo que uno encuentra en los libros introductorios de QM.
@Danu Es por eso que no publiqué esto como una respuesta separada;). El punto de mi comentario es que las cosas a las que te refieres como "localidad" no son una suposición adicional, solo provienen del hecho de que exiges ψ ser una solución del SE.
¿Las funciones de onda realmente pertenecen al espacio L2L2L^2, o necesitamos restringir aún más nuestro espacio físico de Hilbert?
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