Comprensión de Heaviside y Dirac Delta para la función de paso cuántico

Question

Comprensión de Heaviside y Dirac Delta para la función de paso cuántico

iron2man

Mirando la solución de este sitio , estoy un poco confundido sobre cómo se reducen necesariamente dos cantidades.

Me dan esta función de onda

ψ (X) = {\begin{cases} A X & 0 < X < a / 2 \\ A (a - X) & a / 2 < X < a \\ 0 & de lo contrario \end{cases}

$\psi(x) = \begin{cases} Ax & 0<x<a/2 \\ A(a-x) & a/2 < x < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

Si tomo la derivada, podemos expresarla como una función escalonada.

\begin{aligned} \frac{\partial ψ (X)}{\partial X} & = {\begin{cases} A & 0 < X < a / 2 \\ - A & a / 2 < X < a \\ 0 & de lo contrario \end{cases} \\ = A [θ (X) - θ (X - \frac{a}{2}) - θ (X - \frac{a}{2}) + θ (X - a)] . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial\ \psi(x)}{\partial x} &= \begin{cases} A & 0<x<a/2 \\ -A & a/2 < x < a \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \\ &\\ &= A \left[ \theta(x) - \theta \left (x-\frac{a}{2} \right) - \theta \left( x-\frac{a}{2} \right) + \theta(x-a) \right] \, . \end{align}$

Primera pregunta

¿Cómo se reduce la función de paso a esto?

A [θ (X) - θ (X - \frac{a}{2}) - θ (X - \frac{a}{2}) + θ (X - a)] = - A (2 θ (X - \frac{a}{2}) - 1),

$A \left[ \theta(x) - \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) - \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) + \theta(x-a) \right] = -A \left( 2 \theta \left(x-\frac{a}{2} \right) - 1 \right) \, ,$ es decir, ¿de dónde vino el uno?

Entonces con esa cantidad, tomo la segunda derivada para obtener

\frac{\partial^{2} ψ (X)}{\partial^{2} X} = - 2 A d (X - \frac{a}{2}) .

$\frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x} = -2A\ \delta \left(x-\frac{a}{2} \right) \, .$

Segunda pregunta

Así que ahora lo que queda es integrar mi segunda derivada con mi función escalonada, en la que no tengo idea de qué términos desaparecen.

\int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ (X)}{\partial^{2} X} d X = A \int_{0}^{a / 2} X d (X - a / 2) d X + A \int_{a / 2}^{a} a d (X - a / 2) d X - A \int_{a / 2}^{a} X d (X - a / 2) d X

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*} \frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x}dx = A \int_{0}^{a/2} x \delta(x-a/2) dx + A \int_{a/2}^{a} a \delta(x-a/2) dx - A \int_{a/2}^{a} x \delta(x-a/2) dx$

¿Cómo hago esto y cuál es el razonamiento?

factura vatios

El

1

$1$ proviene del hecho de que

θ (x)

$\theta(x)$ es

1

$1$ en el intervalo de

0

$0$ a un

θ (x - a)

$\theta(x-a)$ sólo afecta a los valores de

x > a

$x > a$ , por lo que se puede ignorar en este intervalo.

Respuestas (1)

Comprensión de Heaviside y Dirac Delta para la función de paso cuántico

El $1$ proviene del hecho de que $\theta(x)$ es $1$ en el intervalo de $0$ a un $\theta(x-a)$ sólo afecta a los valores de $x > a$ , por lo que se puede ignorar en este intervalo.

Efervescencia natural · Answer 1

Primera pregunta Supongo que su fuente está afirmando implícitamente 'centrémonos solo en $] 0,a [$ '. Puedes dejar el $\theta(x)$ y el $\theta(a-x)$ , los deltas correspondientes desaparecerán de todos modos (ver más abajo).

Segunda pregunta Diría que la forma en que escribiste la integral se pierde algunas partes:

\int_{0}^{a / 2} ψ^{*} \frac{\partial^{2} ψ (X)}{\partial^{2} X} d X = \int_{0}^{a / 2} A X \cdot - 2 A d (X - \frac{a}{2}) d X = A \int_{0}^{a / 2} d (X - a / 2) d X ? ?

$\int_{0}^{a/2} \psi^{*} \frac{\partial^2\ \psi(x)}{\partial^2 x} \ \mathrm{d}x = \int_{0}^{a/2} A x \cdot -2A\ \delta(x-\frac{a}{2}) \ \mathrm{d}x = A \int_{0}^{a/2} \delta(x-a/2) \ \mathrm{d} x \ \ ??$ Etc.

De todos modos, puedes calcular el valor esperado de energía usando directamente la propiedad delta:

\int_{X_{1}}^{X_{2}} F (X) d (X - C) d X = F (C)

$\int_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-c) \ \mathrm{d}x = f(c)$ dónde

c \in] x_{1}, x_{2} [

$c \in \ ]x_1, x_2[$ (pero escribiste correctamente

] - \infty, \infty [

$]-\infty,\infty[$ , así que eso es ciertamente cierto).

Si quieres, $\int_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-x_2) \ \mathrm{d}x = f(x_2) / 2$ etc., pero es más simple si no divides la integral en absoluto.

Hola, definí los límites de la integral de $[-\infty,\infty]$ para representar todo el espacio, que se reduce a los límites de la función escalonada. Para las integrales de $\int_{a/2}^{a} x \delta(x-a/2)dx + \int_{a/2}^{a} \delta(x-a/2)$ , ¿cómo lo evaluaría?
Se vuelve complicado si intenta dividir la integral solo en el punto de evaluación delta (pero es posible: divida el resultado por 2). Tal vez debería agregar esto en la respuesta.
@DarthLazar ¿Conseguiste resolver esto? El único problema real que pude ver fue sobre cómo aplicar el delta de Dirac (de la manera un poco incorrecta que siempre verás en la física) y traté de solucionarlo, pero si hay algo más, trata de ampliarlo, porque No puedo resolverlo por mí mismo.

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Segunda pregunta

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