¿Existe una condición de la mecánica cuántica que prohíba las distribuciones de Lorentzian?

No hay ninguna restricción para que QM evite este problema incluso si estos estados parecen un poco extraños ya que no tienen una localización espacial "preferida", pero en principio no se pueden excluir. Subrayo que estamos discutiendo sobre estados propios , es decir, elementos de$L^2(\mathbb R)$y no, por ejemplo, funciones propias del operador momento.

En realidad, el uso del valor medio para localizar la partícula es parcialmente convencional y tiene sentido cuando la distribución está estrictamente concentrada en torno a su valor medio y hay casos en los que no ocurre aunque se defina el valor medio de la posición. Piense en la función propia del oscilador armónico...

Con respecto a un operador hamiltoniano que admite tal$\psi$(se supone que es real) ya que el vector propio se construye fácilmente

$$H = -\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\:,$$

dónde

$$V(x) = \frac{\psi''(x)}{\psi(x)}\:.$$ Con esta definición $\psi$es el vector propio con valor propio cero.

Asumiendo

$$\psi(x) = \sqrt{\frac{a}{\pi(x^2+a^2)}}$$ para algunos $a>0$, tenemos $$V(x) = \frac{2x^2-a^2}{(x^2+a^2)^2}\:.$$ Este es un potencial bastante interesante representado a continuación para $a=1$

Este hamiltoniano es autoadjunto en el mismo dominio de autoadjunto de$-\frac{d^2}{dx^2}$porque el operador multiplicativo$V$es acotado y auto-adjunto. En otras palabras$H$es autoadjunto en el dominio de la clausura$\overline{\frac{d^2}{dx^2}}$coincidiendo con el espacio de Sobolev$H^2(\mathbb R)$que ciertamente incluye$\psi$. Entonces todo está bien definido.

Esta segunda imagen también representa la función$\psi$, la función propia de$H$con valor propio cero.

En realidad, la interpretación física es que estos potenciales inducen la deslocalización de la función de onda, que es la base de la unión química. Los potenciales entre los átomos donantes y aceptores de electrones tienen la forma del potencial mostrado por Valter. La deslocalización también implica que la repulsión de electrones se promedia/enmascara dentro de la molécula, y solo es evidente lejos de ella.

https://en.wikipedia.org/wiki/Resonance_(química)#Charge_delocalization

La deslocalización de carga en los aniones es un factor importante que determina su reactividad (generalmente: cuanto mayor es el grado de deslocalización, menor es la reactividad) y, específicamente, la fuerza ácida de sus ácidos conjugados. Como regla general, cuanto mejor deslocalizada está la carga en un anión, más fuerte es su ácido conjugado. Por ejemplo, la carga negativa en el anión perclorato (ClO−4) se distribuye uniformemente entre los átomos de oxígeno orientados simétricamente (y una parte también se mantiene en el átomo de cloro central). Esta excelente deslocalización de carga combinada con el alto número de átomos de oxígeno (cuatro) y la alta electronegatividad del átomo central de cloro hace que el ácido perclórico sea uno de los ácidos más fuertes conocidos con un valor de pKa de -10.

También el artículo sobre la deslocalización de electrones.

Ya hay buenas respuestas, pero me gustaría agregar que no hay absolutamente nada extraño o incorrecto en que un valor de expectativa no esté definido.

Como ejemplo clásico, considere la paradoja de San Petersburgo . Se pone un dólar en una olla y se lanza una moneda. Si la moneda sale cara, ganas el bote; si sale cruz, el bote se duplica y volteas de nuevo. Entonces la cantidad esperada de dinero que ganas es

$$\frac12 (1) + \frac14 (2) + \frac18 (4) + \ldots = \frac12 + \frac12 + \frac12 + \ldots = \infty.$$ ¿Qué significa esto? ¿Significa que el juego no existe, o que si lo juegas, terminas con una cantidad indefinida de dinero? No; podemos jugar el juego ahora mismo y probablemente terminarás con unos cuantos dólares.

Lo que significan los valores de expectativa indefinidos en la práctica es esto: suponga que juega el juego muchas veces y promedia los resultados. Obtendrá algún número, y si el valor esperado es finito, su promedio convergerá a él a medida que juegue más y más. Por otro lado, si el valor de la expectativa no es finito, su promedio crecerá sin límite, a medida que aumenta cada vez más los botes raros.

El mismo principio exacto está en el trabajo en su situación. No hay nada de malo en medir la posición de una partícula de este tipo y es probable que obtengas un resultado razonable. La cola pesada solo se hará visible si mide muchas veces y promedia los resultados. esta bien para$\langle x \rangle$ser indefinido; en particular, no hay absolutamente ninguna razón para pensar que la partícula cuántica es 'realmente' en$\langle x \rangle$, más de lo que 'realmente' obtendrías una cantidad infinita de dinero jugando el juego anterior una vez.