¿Principio de incertidumbre de Heisenberg para la desviación media?

Podemos suponer WLOG que$\bar x=\bar p=0$y$\hbar =1$. No asumimos que las funciones de onda están normalizadas.

Dejar

$$\sigma_x\equiv \frac{\displaystyle\int_{\mathbb R} |x|\;|\psi(x)|^2\,\mathrm dx}{\displaystyle\int_{\mathbb R}|\psi(x)|^2\,\mathrm dx}$$ y $$\sigma_p\equiv \frac{\displaystyle\int_{\mathbb R} |p|\;|\tilde\psi(p)|^2\,\mathrm dp}{\displaystyle\int_{\mathbb R}|\tilde\psi(p)|^2\,\mathrm dp}$$

Utilizando

$$\int_{\mathbb R} |p|\;\mathrm e^{ipx}\;\mathrm dp=\frac{-2}{x^2}$$ podemos demostrar que ¹ $$\sigma_x\sigma_p=\frac{1}{\pi}\frac{-\displaystyle\int_{\mathbb R^3} |\psi(z)|^2\psi^*(x)\psi(y)\frac{|z|}{(x-y)^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}{\displaystyle\left[\int_{\mathbb R}|\psi(x)|^2\,\mathrm dx\right]^2}\equiv \frac{1}{\pi} F[\psi]$$

En el caso de paquetes de ondas gaussianas es fácil comprobar que$F=1$, es decir,$\sigma_x\sigma_p=\frac{1}{\pi}$. Sabemos que las funciones de onda gaussianas tienen la mínima dispersión posible, por lo que podríamos conjeturar que$\lambda=1/\pi$. no he podido probar eso$F[\psi]\ge 1$para todos$\psi$, pero parece razonable esperar que$F$se minimiza para funciones gaussianas. El lector podría intentar probar esta afirmación usando las ecuaciones de Euler-Langrange para$F[\psi]$porque después de todo,$F$es solo un funcional de$\psi$.

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Probando la conjetura

evalué$F[\psi]$para algunos al azar$\psi$:

$$\begin{aligned} F\left[\exp\left(-ax^2\right)\right]&=1\\ F\left[\Pi\left(\frac{x}{a}\right)\cos\left(\frac{\pi x}{a}\right)\right]&=\frac{\pi^2-4}{2\pi^2}(\pi\,\text{Si}(\pi)-2)\approx1.13532\\ F\left[\Pi\left(\frac{x}{a}\right)\cos^2\left(\frac{\pi x}{a}\right)\right]&=\frac{3\pi^2-16}{9\pi^2}(\pi\,\text{Si}(2\pi)+\log(2\pi)+\gamma-\text{Ci}(2\pi))\approx1.05604\\ F\left[\Lambda\left(\frac{x}{a}\right)\right]&=\frac{3\log2}{2}\approx1.03972\\ F\left[\frac{J_1(ax)}{x}\right]&=\frac{9\pi^2}{64}\approx1.38791\\ F\left[\frac{J_2(ax)}{x}\right]&=\frac{75\pi^2}{128}\approx5.78297 \end{aligned}$$

Como señaló knzhou, cualquier función que dependa de un solo parámetro dimensional$a$tiene un$F$eso es independiente de ese parámetro (como confirman los ejemplos anteriores). Si en cambio tomamos funciones que dependen de un parámetro adimensional$n$, luego$F$dependerá de ello, y podemos tratar de minimizar$F$con respecto a ese parámetro. Por ejemplo, si tomamos

$$\psi_{n}(x)=\Pi\left(x\right)\cos^n\left(\pi x\right)$$ entonces obtenemos $$1< F\left[\psi\right]<1+\frac{1}{12n}$$ así que eso $F[\psi_n]$se minimiza para $n\to\infty$donde conseguimos $F[\psi_{\infty}]=1$.

Del mismo modo, si tomamos

$$\psi_{n}(x)=\frac{J_{2n+1}(x)}{x}$$ obtenemos $$F[\psi]=\frac{(4n+1)^2(4n+2)^2\pi^2}{64(2n+1)^3}\ge \frac{9\pi^2}{64} \approx1.38791$$ lo cual es, de nuevo, consistente con nuestra conjetura.

La función

$$\psi_n(x)=\frac{1}{(x^2+1)^n}$$ posee $$F[\psi]=\frac{\Gamma (2 n)^2 \Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)^2}{(2 n-1) n! \Gamma (n) \Gamma \left(2 n-\frac{1}{2}\right)^2}\ge 1$$ lo que satisface nuestra conjetura.

Como último ejemplo, tenga en cuenta que

$$\psi_{n}(x)=x^n\mathrm e^{-x^2}$$ posee $$F[\psi]=\frac{2^n n! \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)^2}{\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)^2}\ge 1$$ según sea necesario.

Podríamos hacer lo mismo con otras familias de funciones para estar más seguros de la conjetura.

¡La conjetura está mal! (2018-03-04)

El usuario Frédéric Grosshans ha encontrado un contraejemplo a la conjetura. Aquí ampliamos un poco su análisis.

Notemos que el conjunto de funciones

$$\psi_n(x)=H_n(x)\mathrm e^{-\frac12 x^2}$$ con $H_n$los polinomios de Hermite son una base para $L^2(\mathbb R)$. Por lo tanto, podemos escribir cualquier función como $$\psi(x)=\sum_{j=0}^\infty a_jH_j(x)\mathrm e^{-\frac12 x^2}$$

Truncando la suma a$j\le N$y minimizando con respecto a$\{a_j\}_{j\in[1,N]}$produce el mínimo de$F$cuando se restringe a ese subespacio:

$$\min_{\psi\in\operatorname{span}(\psi_{n\le N})} F[\psi]=\min_{a_1,\dots,a_N}F\left[\sum_{j=0}^N a_jH_j(x)\mathrm e^{-\frac12 x^2}\right]$$

Tomando el límite$N\to\infty$da el mínimo de$F$sobre$L^2(\mathbb R)$. no se como calcular$F[\psi]$analíticamente, pero es bastante simple hacerlo numéricamente:

Las líneas punteadas superior e inferior representan la conjetura$F\ge 1$y de Frédéric$F\ge \pi^2/4e$. La línea continua es el ajuste de los resultados numéricos a un modelo.$a+b/N^2$, que produce como una estimación asintótica$F\ge 0.9574$, que se representa con la línea discontinua central.

Si estos resultados numéricos son confiables, entonces concluiríamos que el verdadero límite está alrededor

$$F[\psi]\ge 0.9574$$ que está cerca del resultado gaussiano y por encima del resultado de Frédéric. Esto parece confirmar su análisis. Falta una prueba rigurosa, pero los números son realmente muy sugerentes. Supongo que en este punto deberíamos pedirles a nuestros amigos los matemáticos que vengan a ayudarnos. El problema parece interesante en sí mismo, así que estoy seguro de que estarán encantados de ayudar.

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Otros momentos

si usamos

$$\sigma_x(\nu)=\int\mathrm dx\ |x|^\nu\; |\psi(x)|^2\qquad \nu\in\mathbb N$$ para medir la dispersión, encontramos que, para funciones gaussianas, $$\sigma_x(\nu)\sigma_p(\nu)=\frac{1}{\pi}\Gamma\left(\frac{1+\nu}{2}\right)^2$$

En este caso obtenemos$\sigma_x\sigma_p=1/\pi$por$\nu=1$y$\sigma_x\sigma_p=1/4$por$\nu=2$, como se esperaba. Es interesante notar que$\sigma_x(\nu)\sigma_p(\nu)$se minimiza para$\nu=2$, es decir, el HUR habitual.

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$^1$podríamos necesitar introducir una pequeña parte imaginaria en el denominador$x-y-i\epsilon$hacer que las integrales converjan.

editado para agregar la sección IV, encontrando un ejemplo numérico con$F<1$($F\simeq 0.95791$)

Resumen

Usando el principio de incertidumbre entrópica, se puede demostrar que$μ_qμ_p≥\frac{π}{4e}$, donde$μ$es la desviación media. esto corresponde a$F≥\frac{π^2}{4e}=0.9077$usando las notaciones de la respuesta de AccidentalFourierTransform . No creo que este límite sea óptimo, pero no logré encontrar una prueba mejor.

Para simplificar las expresiones, supondré$ℏ=1$, y no se especifica la base de los logaritmos.

I. Mi herramienta principal: Relaciones entrópicas de incertidumbre

Una herramienta común para estudiar el Principio de Incertidumbre de Heisenberg es a través de las relaciones entrópicas de incertidumbre. Para una revisión reciente (pero técnica), ver (Coles, Berta, Tomamichel, Wehner 2015) . La idea principal es utilizar una entropía como medida de dispersión. Dado que las entropías son cantidades teóricas de información, este enfoque es realmente fructífero en la información cuántica.

En este caso, estamos interesados ​​en variables continuas, y la entropía que nos interesa es la entropía diferencial , definida en 1948 por Shannon de la siguiente manera:

$$\mathcal{H}(x)=-∫\mathrm{d}x P(x) \log P(x)$$

donde$P$es la densidad de probabilidad de la variable continua$x$. Esta cantidad es una medida de la dispersión y puede ser negativa.

En 1975, Białynicki-Birula y Mycielski (paywalled) , e independientemente Beckner (aywalled) , encontraron el siguiente EUR para posición e impulso (relación (269) de (Coles, Berta, Tomamichel, Wehner) ):

$$\mathcal{H}(q)+\mathcal{H}(p)≥\log π e \tag{1}$$

Esta relación implica la relación usual sobre desviaciones estándar, ya que, si la variable aleatoria$x$tiene desviación estándar$σ_x$, tenemos

$$\mathcal{H}(x)≤\frac12 \log 2πeσ_x^2,$$ que está saturado para una distribución gaussiana. (Vea este artículo de Wikipedia o [(Shannon 1948)] para una derivación). La combinación de esta desigualdad con (1) da fácilmente la relación de incertidumbre de Heisenberg habitual.

II. Relación de incertidumbre sobre la desviación media

Es fácil demostrar que una variable aleatoria$x$de desviación media$μ_x$tiene su entropía acotada por

$$\mathcal{H}(x)≤\log 2eμ_x, \tag{2}$$ con igualdad para la distribución de Laplace . Combinando con la ecuación (1), tenemos

$$\begin{gather} \log 2eμ_q + \log 2eμ_p ≥ \mathcal{H}(q)+\mathcal{H}(p) ≥ \log πe \\ \log μ_qμ_p ≥ \log \frac{π}{4e}\\ \boxed{ μ_qμ_p ≥ \frac{π}{4e}.} \text{ Q.E.D.} \tag{3} \end{gather}$$

tercero Conclusión

Entonces ec. (3) nos da un límite inferior en el producto$μ_q⋅μ_p$. Este límite inferior es sólo un factor$\frac{π^2}{4e}=0.9077$menor que el valor$\frac{1}{π}$de paquetes de ondas gaussianas analizadas en [Respuesta de AccidentalFourierTransform]. Por lo tanto, este límite no se puede mejorar en más de$∼$10%. Si$λ$es la cota inferior real, tenemos:

$$0.28893≃\frac{π}{4e}≤λ≤\frac{1}{π}≃0.31831$$

Sin embargo, no espero que el límite inferior sea estrecho, ya que la distribución de Laplace , que satura (2), no es estable por transformación de Fourier y, por lo tanto, no puede ser simultáneamente la distribución de$q$y$p$. El límite inferior real$λ$es probablemente estrictamente mayor que$\frac{π}{4e}$pero no puedo probarlo (¿todavía?).

IV. Cálculo numérico ajustando el límite (3 de marzo de 2018)

El artículo reciente arXiv:1801.00994 de Gautam Sharma, Chiranjib Mukhopadhyay, Sk Sazim y Arun Kumar Pati citando esta respuesta me incitó a completar esta respuesta con una consideración adicional. Por la razón de la simetría, se espera que la distribución de probabilidad de q y p sea uniforme e idéntica. Escrito en la base de estado de Fock, tales igualdades corresponden a estados de la forma$|ψ\rangle=∑_nα_n|4n+δ\rangle$. Me limité a los estados de Fock con 0, 4, 8, 12, 16 y 20 fotones, calculé numéricamente el$|x|$operador en esta base. Su valor propio más bajo$μ≃0.55219$se logra para el estado propio

$$\begin{align} |ψ\rangle = 0.99551|0\rangle+0.08873|4\rangle+ 0.02852|8\rangle + 0.013642|12\rangle + 0.00788&|16\rangle\\&+0.00489|20\rangle \end{align},$$ que es casi gaussiana pero no del todo, como se ve en la siguiente figura que muestra la densidad de probabilidad de $q$(la línea discontinua es la varianza $\frac12$gaussiano).

Para este estado tenemos

$$μ_qμ_p=μ^2≃ 0.30491≃\frac{0.95791}{π}<\frac{1}{π},$$ Lo que invalida la conjetura de AccidentalFourierTransform. También tenemos $μ^2≃=1.05531\frac{π}{4e}>\frac{π}{4e}$, por lo que este valor está aproximadamente a mitad de camino entre los dos límites anteriores. Supongo que es casi óptimo, pero todavía no sé cómo probarlo y no tengo una expresión agradable para ello.

Por lo tanto, los límites inferior y superior son actualmente$5\%$aparte:

$$\boxed{0.28893≃\frac{π}{4e}≤λ≤μ^2≃ 0.30491}$$

Bibliografía

1. Patrick J. Coles, Mario Berta, Marco Tomamichel, Stephanie Wehner, Relaciones entrópicas de incertidumbre y sus aplicaciones arXiv:1511.04857
2. Los contribuyentes de Wikipedia, Entropía diferencial , en la Wikipedia en inglés
3. Claude E. Shannon, Una teoría matemática de la comunicación , Bell System Technical Journal 27 (4): 623–656. (1948) (pdf gratis)
4. Iwo Białynicki-Birula, Jerzy Mycielski, Communications in Mathematical Physics 44 (2), p. 129 (1975). (pago)
5. William Beckner, Desigualdades en el análisis de Fourier , Annals of Mathematics 102 (1) pp.159-182 (1975) (pago) 6.2. Los contribuyentes de Wikipedia, distribución de Laplace , en la Wikipedia en inglés

Volví a la derivación del principio de incertidumbre de Heisenberg y traté de modificarlo. No estoy seguro de si lo que se me ocurrió vale algo, pero tú serás el juez:

La derivación original

Dejar$\hat{A} = \hat{x} - \bar{x}$y$\hat{B} = \hat{p} - \bar{p}$. Entonces el producto interno del estado$| \phi\rangle = \left(\hat{A} + i \lambda \hat{B}\right) |\psi\rangle$consigo mismo debe ser positivo lo que conduce a:

$$\langle\phi|\phi\rangle = \langle\psi|\left(\hat{A} - i \lambda \hat{B}\right)\left(\hat{A} + i \lambda \hat{B}\right) |\psi\rangle = \left(\Delta A\right)^2 + \lambda^2(\Delta B)^2 + \lambda i\left <\left[\hat{A}, \hat{B}\right] \right> \geq 0$$

Dado que esto es cierto para cualquier lambda, necesitamos que el discriminante sea positivo. Esto da la relación de Heisenberg:

$$\left(\Delta A\right)^2 \left(\Delta B\right)^2 \geq \frac{1}{4}\left<i\left[\hat{A}, \hat{B}\right]\right>^2$$

Para A y B considerados anteriormente, el conmutador se evalúa fácilmente para dar el resultado estándar.

Mi intento de modificarlo.

tratar de tomar$\hat{A}_2 = \sqrt{\hat{x} - \bar{x}}$y$\hat{B}_2 = \sqrt{\hat{p} - \bar{p}}$en lugar de$\hat{A}$y$\hat{B}$. Aquí las raíces cuadradas se pueden tomar para significar cualquier operador que eleva al cuadrado a$\hat{x} - \bar{x}$y de manera similar para$\hat{p}$.

La derivación anterior era completamente general, el único problema ahora es que el conmutador no se evalúa fácilmente. El conmutador es ahora de la forma$[f(\hat{x}),f(\hat{p})]$. Podemos hacer una expansión:

$$f(\hat{x}) = \sum_{n=0}^\infty a_n \hat{x}^n$$

En nuestro caso podríamos por ejemplo tomar la expansión binomial para la raíz (ya que cualquier operador que eleva al cuadrado da$\hat{x} - \bar{x}$es decir:

$$\sqrt{\hat{x} - \bar{x}} = \sqrt{\bar{x}} \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{\hat{x}}{\bar{x}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1) (\frac{\hat{x}}{\bar{x}})^2 + ... \right) = \sum_{n=0}^\infty \bar{x}^{3/2-n} \frac{0.5!}{(0.5-n)!} \hat{x}^n$$

donde el factorial se define como:$\frac{0.5!}{(0.5-n)!} = 0.5(0.5-1)...(0.5-n+1)$

Así que obtuvimos$a_n = \bar{x}^{3/2-n} \frac{0.5!}{(0.5-n)!}$

Ahora volvamos al conmutador. Tenemos:

$$[\hat{A}_2,\hat{B}_2] = \sum_{n,m} a_n a_m [\hat{x}^n, \hat{p}^m] = i \hbar \sum_{n,m} a_n a_m \sum_q^{m-1} \hat{p}^{m-1-q} \hat{x}^{n-1} \hat{p}^q$$

espero haber conseguido el$[\hat{x}^n, \hat{p}^m]$correcto, pero estoy relativamente seguro de que la expresión final es de esta forma. No creo que puedas evaluar esta serie analíticamente (¿o sí?) pero una observación importante ya es que NO es un número sino un operador en sí mismo . Sin embargo, la pregunta realmente no se resuelve con esto. Uno tendría que encontrar el valor propio más bajo de este operador , que sería el límite inferior del producto de las incertidumbres sobre las que preguntaba el OP. Pero aparte de que la serie es desagradable, uno probablemente tenga problemas con los límites de la$\hat{p}$,$\hat{x}$operadores. Tal vez alguien más sepa más sobre esto.